10.7. ЗАДАЧИ

10.1. Пусть — сумма квадратов двух значений огибающей узкополосного стационарного нормального случайного процесса. Используя (10,60) и заменяя переменные , показать, что одномерная плотность вероятности

При распределение (1) переходит в

— распределение с четырьмя степенями свободы, как и должно быть для суммы двух независимых экспоненциальных случайных величин.

10.2. Пусть — стационарные и стационарно связанные узкополосные гауссовские процессы, которые можно представить в виде

Показать, что совместная плотность вероятности и взаимная корреляционная функция огибающих этих процессов

где — дисперсии процессов (предполагается, что средние значения этих процессов равны нулю),

При формулы (5) и (6) переходят в (10.60) и (10.69).

Рис. 10.5. Схема устройств перемножитель-фильтр

10.3. На вход устройства, схема которого изображена на рис. 10.5, подаются процессы указанные в задаче 10.2. Спектры процессов ограничены полосой А, а полоса идеального низкочастотного фильтра НЧФ удовлетворяет неравенству Замечая что процесс на выходе фильтра

получаем следующее выражение характеристической функции процесса

где I — единичная матрица, и матрицы Q и К имеют вид

10.4. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем огибающей эргодического узкополосного центрированного гауссовского процесса

где — дисперсия гауссовского процесса и со определяется согласно (10.1256).

10.5. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем фазы эргодического узкополосного центрированного гауссовского процесса

(т. е. не зависит от уровня )

где со определяется согласно (10.1256).

10.6. Доказать, что среднее число и средняя длительность выбросов над уровнем мгновенной частоты производной от фазы эргодического узкополосного центрированного гауссовского процесса

где

причем величина определяется согласно (10.125 б), — согласно (10.52).