9.5. КВАНТОВАНИЕ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА

9.5.1. Корреляционная функция шумов квантования.

Используем общую формулу (8.42) для определения корреляционной функции шумов квантования, если квантуемый сигнал представляет центрированный стационарный гауссовский процесс с дисперсией и нормированной корреляционной функцией . Получим

Обозначив запишем корреляционную функцию шумов квантования гауссовского случайного процесса в виде

Предположим, что разность между дискретными уровнями много меньше среднеквадратического значения а сигнала. Это предположение практически всегда осуществляется. Тогда Учитывая это неравенство, можно в (9.89) пренебречь двойными суммами по сравнению с первой суммой и, заменив гиперболический синус его асимптотическим разложением получить следующее приближенное выражение для корреляционной функции шумов квантования, достаточное для большинства практически интересных задач:

Полная мощность шумов квантования (дисперсия ошибки квантования)

Нетрудно заметить, что в рассматриваемом случае дисперсия ошибки совпадает с дисперсией случайной величины, распределенной равномерно на интервале от нуля до . Это объясняется тем, что при малой разности между дискретными уровнями погрешность квантования достаточно точно аппроксимируется отрезками прямых линий за исключением тех случаев, когда сигнал между дискретными уровнями проходит через экстремум.

9.5.2. Спектральная плотность мощности шумов квантования.

Предположим, что спектр исходного гауссовского процесса равномерный в полосе

Так как при этом из (9.90), используя теорему Хинчина — Винера, находим,

Разлагая функцию - в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами (что допустимо, так как подынтегральная функция в (9.92) быстро убывает при возрастании , получаем

Интегралы такого же типа, что под знаком суммы, уже встречались [см. (7.72)]. Подставляя их в (9.92), находим спектральную плотность мощности шумов квантования

Интервал корреляции шумов квантования можно найти из соотношения [ср. (4.88)]

и так как , то

т. е. интервал корреляции шумов квантования приблизительно в раз меньше, чем у квантуемого процесса.

При корреляция между ошибками квантования в последовательных отборах значений сигнала практически отсутствует. Соответственно спектр шумов квантования при уменьшении разности между дискретными уровнями становится равномерным в более широком диапазоне частот с одновременным уменьшением максимума спектральной плотности.

9.5.3. Взаимная корреляционная функция шумов квантования и квантуемого процесса.

Если квантуемый процесс — центрированный стационарный гауссовский процесс с дисперсией и нормированной корреляционной функцией , то

и из (8.45) находим

т. е. взаимная корреляционная функция пропорциональна корреляционной функции квантуемого процесса [ср. (9.76)].

Заметим, что при как это следует из (9.95), абсолютное значение взаимной корреляционной функции порядка значений корреляционной функции квантуемого процесса.