15.4.5. Оптимальные аналоговые алгоритмы обнаружения квазидетерминированных сигналов.

Рассмотрим задачу синтеза оптимального алгоритма обнаружения квазидетерминированного сигнала при условии, что используется вся наблюдаемая на интервале (0, Т) реализация а не конечный набор ее координат, как в 15.4.4.

Из (15.85), подставляя вместо величину , находим выражение для функционала отношения правдоподобия, соответствующее комплексной огибающей процесса при заданной фазе

(15.129)

где определяется из неоднородного линейного интегрального уравнения [см. (15.83)]

(15.130)

Вводя функцию

(15.131)

и подставляя (15.131) в (15.130), получаем комплексное интегральное уравнение

(15.132)

из которого видно, что функция не зависит от Заметим, что комплексное интегральное уравнение (15.132) эквивалентно системе двух действительных интегральных уравнений относительно действительной и мнимой частей функции [см. (15.116 а), (15.116 б)]:

Если спектральная плотность мощности симметрична относительно центральной частоты то (см. п. 10.1.3) и вместо системы уравнений имеем два отдельных уравнения относительно неизвестных функций и

Выражение (15.129) функционала отношения правдоподобия с учетом (15.131) можно переписать в виде

(15.133)

где

(15.133 а)

Знак при втором сомножителе в (15.133) опущен, так как интеграл действительный и положительный:

(15.1336)

Из (15.133) следует, что при фиксированной фазе оптимальный амплитудно-фазовый аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного узкополосного сигнала на фоне аддитивной узкополосной гауссовской помехи можно представить в виде

(15.133 в)

где и - квадратурные составляющие наблюдаемой реализации узкополосного случайного процесса. Статистика в левой части неравенства - линейный функционал от указанных квадратурных составляющих.

Если мешающий параметр — случайный и распределен равномерно на интервале , то усредненный по этому параметру функционал отношения правдоподобия (15.133) [ср. с. (15.122)]

(15.134)

где [ср. с (15.121 а) и (15.125)]

(15.135)

Повторяя рассуждения, приведенные в п. 15.4.3 после формулы (15.122), приходим к выводу, что оптимальный аналоговый алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивной узкополосной гауссовской помехи предписывает сравнение с порогом статистики (15.135)

(15.137)

где порог с при использовании критерия Неймана — Пирсона определяется заданной вероятностью а ложной тревоги.

Случайная величина — модуль комплексной гауссовской случайной величины среднее значение которой равно нулю, когда справедлива гипотеза Но, и когда справедлива гипотеза Дисперсия этой величины

Поэтому случайная величина подчиняется рэлеевскому распределению при гипотезе и обобщенному рэлеевскому распределению при гипотезе Плотности этих распределений определяются по формулам (15.123), (15.124), если параметр заменить параметром Отсюда следует также, что порог с в алгоритме (15.137) и рабочая характеристика этого алгоритма вычисляются по формулам (15.127), (15.128) с заменой величины величиной

Из (15.137) следует также, что оптимальный по критерию Неймана — Пирсона аналоговый алгоритм обнаружения квазидетерминированного сигнала на фоне аддитивной узкополосной гауссовской помехи

(15.138)

где

(15.138 б)

причем функции представляют решения системы интегральных уравнений (15.132 а), (15.1326).