4.6. УЗКОПОЛОСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Макеты страниц

4.6. УЗКОПОЛОСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Краткое описание свойств гауссовского шума, сформированного из белого шума вырезанием относительно узкой полосы частот, было дано в § 4.4. Там отмечалось, что каждая из реализаций подобного случайного процесса имеет вид почти гармонического колебания

все параметры, которого — огибающая и частота — являются случайными медленно меняющимися функциями времени.

При представлении шума в форме (4.60) предполагается, что огибающая отвечает соотношению

где — функция, сопряженная по Гильберту исходной функции выбрана таким образом, что фаза не содержит слагаемого, линейно-зависящего от

В этом смысле нет различия между случайным и детерминированным процессами (см. § 3.9). Дополнительно этот вопрос рассматривается в § 4.7.

Дальнейшее рассмотрение основано на допущении, что спектральная плотность шума сконцентрирована в узкой по сравнению с величиной полосе, причем функция в указанной полосе симметрична относительно точки (рис. 4.13, а).

Рассмотрим стационарный эргодический процесс с нормальным законом распределения вероятностей. Здесь необходимо подчеркнуть, что указанное распределение характеризует физическое колебание , т. е. мгновенное значение колебания (в любой момент времени t). Параметры же колебания: — обладают законами распределения, существенно отличающимися от нормального.

Для полного описания свойств узкополосного процесса требуется знание законов распределения, а также корреляционных функций всех параметров колебания.

1. ОГИБАЮЩАЯ

Представим высокочастотное колебание определяемое выражением (4.60), в виде двух квадратурных колебаний:

Здесь, как и в § 3.5,

представляют собой амплитуды соответственно косинусной и синусной составляющих колебания , причем

Для отыскания плотностей вероятности требуется знание соответствующих плотностей , а также совместной плотности вероятности .

Плотности можно определить, сопоставив случайную функцию с функцией х(t):

Отличие от заключается в исключении слагаемого из аргумента косинуса. Как и для детерминированного колебания, это означает сдвиг спектра каждой из реализаций случайного процесса на величину (в направлении к нулевой частоте при сохранении структуры спектра). При этом сохраняется и закон распределения случайной функции Поэтому, если процесс гауссовский, то и процесс гауссовский (оба процесса с нулевым средним).

Спектр (рис. 4.13, б) случайной функции можно получить из спектра функции сдвигом на левого лепестка и на правого лепестка спектра (рис. 4.13).

В результате получается спектр

группирующийся вблизи нулевой частоты.

Рис. 4.13. Спектры: а) узкополосного процесса с центральной частотой ; б) косинусной составляющей комплексной огибающей

Коэффициент 2 учитывает сложение мощностей, приходящихся на оба лепестка .

Аналогичные рассуждения используем для случайного процесса и его спектра

Из этого выражения и рис. 4.13 вытекает, что площадь под кривой (в двух лепестках) совпадает с площадью под кривой [или ]. Следовательно, дисперсии случайных функций ), одинаковы:

При учете первого выражения (4.63), из которого вытекает равенство приходим к следующему выражению для среднего квадрата огибающей (из-за некоррелированности квадратур):

Итак, одномерные плотности вероятности случайных функций можно определить выражениями

Кроме того, взаимная корреляция между функциями равна нулю при . Действительно, возводя выражение (4.60) в квадрат и усредняя по множеству, получаем

Но левая часть этого выражения равна кроме того,

является взаимной корреляционной функцией случайных процессов при . Следовательно, предыдущее равенство приводится к виду

(4.67)

из которого вытекает, что [поскольку процессы стационарны, равенство (4.67) должно выполняться в любой момент времени].

Итак, отсчитываемые в один и тот же момент времени, — статистически независимые величины. Поэтому совместную плотность вероятности можно определить выражением

Рис. 4.14. к определению двумерной плотности вероятности квадратурных составляющих комплексной огибающей узкополосного процесса

Рис. 4.15. К определению двумерной плотности вероятностей модуля и аргумента комплексной огибающей

Вероятность того, что конец вектора лежит в элементарном прямоугольнике (рис. 4.14), равна произведению вероятностей пребывания в интервале в интервале :

При переходе от прямоугольных координат к полярным площадь заштрихованного на рис. 4.15 элемента будет , а вероятность пребывания конца вектора в этом элементе равна .

Из этого выражения следует, что двумерная плотность вероятности

Интегрируя переменной , получаем одномерную плотность вероятности

Обоснование пределов интеграла приводится в следующем пункте данного параграфа.

Распределение огибающей, характеризуемое плотностью вероятности (4.70), называется распределением Рэлея (рис. 4.16). Максимальное значение функции получается при . Это означает, что является наивероятнейшим значением огибающей.

Среднее же значение (математическое ожидание) огибающей

Рис. 4.16. Распределение Рэлея

Рис. 4.17. Ширина шумовой дорожки для узкополосного нормального шума при вероятности превышения границ около 1 %

Аналогично средний квадрат огибающей

Этот результат совпадает с (4.65). Таким образом, средняя мощность огибающей равна удвоенной дисперсии шума. Это аналогично соотношению между квадратом амплитуды и средней мощностью гармонического колебания равной

Вероятность того, что огибающая превысит некоторый заданный уровень определяется формулой

а вероятность того, что огибающая будет ниже уровня — формулой

Из этих формул видно, что уже при вероятность превышения уровня С составляет всего лишь около 1 %. Поэтому можно считать, что ширина шумовой дорожки, фактически наблюдаемой, например, на экране осциллографа (рис. 4.17), не превышает .

Этот результат, естественно, близок к данным, приведенным в § 4.2 для шумовой дорожки широкополосного гауссовского процесса (со спектром, примыкающим к нулевой частоте).

Ковариационная функция огибающей узкополосного нормального шума [13] определяется по формуле, которую приводим без вывода:

Здесь представляет собой огибающую нормированной корреляционной функции шума , т. е. функции, определяемой выражением (при х = 0)

Так как , то ряд (4.75) быстро сходится. Поэтому можно ограничиться первыми двумя членами:

Применяя к преобразование Фурье [см. (4.38)], находим спектральную плотность мощности огибающей

Из выражения (4.78) видно, что спектр огибающей примыкает к нулевой частоте. Первое слагаемое в правой части (4.78) соответствует постоянной составляющей огибающей, а второе — сплошной части спектра.

Примеры применения формул (4.75)-(4.78) приводятся в § 11.3-11.5.

2. ФАЗА

Интегрирование двумерной плотности вероятности , определяемой выражением (4.69), по переменной А дает одномерную плотность вероятности фазы

Этот результат согласуется с пределами интегрирования в (4.70).

Заметим, что из представления [см. (4.69)] в виде произведения

непосредственно вытекает статистическая независимость случайных величин А и . Как и в отношении это справедливо при отсчете в один и тот же момент времени [см. замечание к (4.67)].

Соотношения (4.70) и (4.79) позволяют сделать следующее общее заключение: произведение вида , в котором А и — независимые случайные величины, причем А распределена по Рэлею, а равновероятна в интервале ), обладает нормальной плотностью вероятности.

Условие узкополосности процесса не обязательно; необходимо лишь, чтобы А и были связаны соотношениями (4.63).

Корреляционная функция фазы определяется выражением [13]

При ряд сходится к , т. е. дисперсия фазы равна Действительно, при распределении (4.79)

3. ЧАСТОТА

Основываясь на выражении (4.60), мгновенную частоту шума можно записать в форме

откуда видно, что закон распределения мгновенной частоты определяется распределением производной фазы 0.

Приведем без вывода [14] выражение для плотности вероятности случайной величины 0

где — эквивалентная ширина спектра узкополосного процесса, определяемая выражением

Последнее выражение эквивалентно формуле

где — огибающая нормированной корреляционной функции процесса, обладающего спектром [симметричным относительно центральной частоты ].

График функции изображен на рис. 4.18. Среднее значение абсолютной величины равно .

Рассмотрим в качестве примера случай, когда энергетический спектр равномерен в полосе частот при центральной частоте Нормированная корреляционная функция в соответствии с выражением (4,44)