3.12. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА

Пусть задан сигнал

спектр которого заключен в узкой полосе частот от до так, что модуль спектральной плотности имеет вид, представленный на рис. 3.33, а, причем в пределах полосы спектр не обязательно симметричен относительно центральной частоты . Под узкополосностью сигнала подразумевается условие , где — полоса частот, Гц.

Предполагается, что функция является простейшей огибающей, т. е. что отвечают соотношениям (3.60) и (3.61).

Если при дискретизации подобного сигнала исходить из ряда (2.114), то интервал между выборками должен быть не больше чем , где — наивысшая частота в спектре сигнала.

Рис. 3.33. Спектр узкополосного радиосигнала (а) и комплексной огибающей этого сигнала (б)

Нецелесообразность такого подхода очевидна, так как информация о сигнале заложена не в частоту , а в огибающую или в фазу , которые изменяются во времени медленно с относительно низкими частотами модуляции. Желательно поэтому так преобразовать выражение (2.114), чтобы интервалы между выборками определялись фактической шириной спектра, т. е. величиной , а не верхней частотой

Для этого перейдем к аналитическому сигналу, соответствующему заданной функции :

(3.109)

где комплексная огибающая представляет собой низкочастотную функцию, спектр которой примыкает к нулевой частоте (рис. 3.33, б). Разложим комплексную функцию по ортогональной системе

где базисная функция определяется выражением (2.115).

Подставив этот ряд в (3.109), получим

после чего исходное колебание определим как действительную часть функции

(3.112)

Как видим, задача дискретизации высокочастотного колебания свелась к задаче дискретизации комплексной огибающей При определении наибольшего допустимого интервала между выборками в разложении (3.110) необходимо исходить из наивысшей частоты в спектре функции Из определения как средней частоты в полосе очевидно, что эта частота, отсчитываемая от , равна или в герцах Следовательно, интервал между выборками не должен превышать

а функция должна иметь вид

От аналогичной функции, использованной в § 2.15, отличается только заменой сот на . Следовательно, спектральная плотность функции равна в полосе частот (рис. 3.32), а спектральная плотность функции

(3.115)

Квадрат нормы функции по аналогии с выражением, приведенным на стр. 60,

(3.116)

Далее по формуле (2.9) с учетом (3.116)

(3.117)

Используя формулу (2.63), в которой заменяем на получаем

В выражении (3.118) — спектр комплексной огибающей — ее значение в отсчетной точке .

Итак, коэффициенты ряда (3.110) являются выборками функции взятыми через интервалы .

Подставляя (3.118) в (3,111), получаем

и по формуле (3.112) определяем

(3.119)

При заданной длительности сигнала число отсчетных точек причем в каждой точке должны быть заданы два параметра:

Следует иметь в виду, что при несимметричном (в полосе ) спектре введенная в данном параграфе частота может не совпадать со «средней частотой» в выражении (3.73). Иными словами, фаза может содержать слагаемое, линейно-зависящее от времени.

Проиллюстрируем выражение (3.119) на примерах колебания, промодулированного по амплитуде или по частоте.

При АМ исходим из колебания в котором — вещественная функция со спектром , ограниченным наивысшей частотой . В этом случае ширина спектра модулированного колебания равна причем в пределах этой полосы спектральная плотность симметрична относительно Интервал между выборками в соответствии с формулой (3.113) должен быть не больше чем т. е. таким же, как и при дискретизации исходного сообщения (модулирующего напряжения).

Так как фаза высокочастотного заполнения при чисто амплитудной модуляции постоянна, то передавать ее нет необходимости. Отсюда вытекает очевидный результат: амплитудно-модулированное колебание вполне определяется значениями своих амплитуд, взятыми через интервал где — верхняя частота в спектре модулирующей функции (т. е. в спектре передаваемого сообщения).

Иными словами, при чисто амплитудной модуляции число степеней свободы модулированного колебания такое же, как и число степеней свободы модулирующей функции.

Рассмотрим теперь частотно-модулированное колебание

когда мгновенная частота модулирована тем же сообщением, что и в предыдущем случае, причем максимальная девиация частоты велика по сравнению с так что ширину полосы частот модулированного колебания можно приравнять к [см. случай «широкополосной» частотной модуляции, (3.34)]. Интервал между выборками должен быть взят как при ЧМ амплитуда колебания неизменна, то передавать ее нет необходимости. Следовательно, для однозначного представления частотно-модулированного колебания достаточно задавать фазу этого колебания в отсчетных точках, отстоящих одна от другой на время . При одной и той же длительности сообщения Те число выборок фазы при ЧМ а число выборок огибающей при АМ Отсюда видно, что при одинаковом передаваемом сообщении (при одинаковом количестве информации) частотно-модулированный сигнал обладает числом степеней свободы в раз большим, чем амплитудно-модулированный. Это является результатом расширения спектра сигнала при ЧМ. На приемной стороне канала связи после частотного детектирования модулированного колебания выделяется напряжение, которое имеет спектр и число степеней свободы такие же, как и исходное сообщение.

Из приведенного примера следует, что при одной и той же ширине спектра информационная емкость радиосигнала различна в зависимости от вида модуляции.

При смешанной модуляции — амплитудной и угловой — в каждой отсчетной точке нужно брать две выборки: амплитуды и фазы.