ЕГЭ и ОГЭ
Хочу знать
Главная > Схемотехника > Радиотехнические цепи и сигналы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Научная библиотека

Научная библиотека

избранных естественно-научных изданий

Научная библиотека служит для получения быстрого и удобного доступа к информации естественно-научных изданий, получивших широкое распространение в России и за рубежом. На сайте впервые широкой публике представлены некоторые авторские издания написанные ведущими учеными страны.

Во избежании нарушения авторского права, материал библиотеки доступен по паролю ограниченному кругу студентов и преподавателей вузов. Исключение составляют авторские издания, на которые имеются разрешения публикации в открытой печати.

Математика

Физика

Методы обработки сигналов

Схемотехника

Астрономия

Разное

Макеты страниц

9.7. МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ

Под фазовой плоскостью подразумевается плоскость, каждая точка которой однозначно определяет состояние (фазу) системы. Так как плоскость обладает двумя измерениями, то ясно, что метод фазовой плоскости применим к анализу систем, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка. Состояние механической системы полностью определяется заданием координаты (перемещение) и скорости движения.

Для электрической системы должны быть заданы две аналогичные переменные, например заряд емкости (или напряжение) и ток. Основным достоинством метода фазовой плоскости является пригодность его для анализа как линейных, так и нелинейных систем. Некоторые важные свойства нелинейных систем, которые невозможно или затруднительно исследовать аналитически, поддаются истолкованию и качественному исследованию с помощью графоаналитического построения на фазовой плоскости.

Суть этого метода проще всего объяснить на примере линейной системы (обычного колебательного контура), описываемой уравнением

в которой под можно подразумевать, например, заряд конденсатора.

Уравнение (9.45) может быть записано в виде системы двух уравнений первого порядка

Таким образом, если — заряд, то — ток в контуре.

Разделив второе из этих уравнений на первое, получим уравнение не содержащее в явной форме время

Входящие в уравнение (9.47) две переменные можно рассматривать как координаты изображающей (или представляющей) точки на плоскости . Тогда уравнение (9.47) является дифференциальным уравнением движения изображающей точки на фазовой плоскости у. Если найти решение уравнения , где А — произвольная постоянная, определяемая начальными условиями , то получим семейство кривых, являющихся интегральными по отношению к исходному уравнению (9.45). Функцию иногда называют первым интегралом уравнения (9.45), так как

На фазовой плоскости решение образует семейство фазовых траекторий изображающей точки, соответствующих различным фиксированным значениям А, т. е. различным начальным условиям Так как при заданных начальных условиях уравнение (9.45), и соответственно (9.47) имеют единственное решение, то каждой паре координат х, у отвечает одна, и только одна, интегральная кривая. Иными словами, вся фазовая плоскость покрыта семейством непересекающихся интегральных кривых (фазовых траекторий). Исключение из этого правила составляют точки, соответствующие состоянию равновесия системы — устойчивого или неустойчивого. В случае линейного уравнения фазовая траектория легко определяется с помощью уравнения типа (9.47). В более сложном случае нелинейного уравнения это построение выполняется с помощью метода изоклин. Термин «изоклина» эквивалентен понятию «кривая равного наклона». Изоклина представляет собой геометрическое место точек фазовой плоскости, в которых фазовые траектории имеют касательные с заданным (фиксированным) угловым коэффициентом k.

В частности, в уравнении (9.47) левая часть есть угловой коэффициент k. Приравнивая эту часть заданному значению k, получаем

откуда приходим к следующему уравнению изоклин:

При постоянных значениях k это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через начало координат.

Можно отметить следующие свойства фазовых траекторий:

а) в верхней полуплоскости изображающая точка движется только вправо, а в нижней — только влево. Действительно, поскольку у а время t только возрастает, то положительность у означает возрастание и абсциссы х. Соответственно, (нижняя полуплоскость), то изменение должно быть отрицательным, т. е. изображающая точка движется влево (рис. 9.19):

б) интегральные кривые пересекают ось абсцисс только под прямым углом. Действительно, из уравнения (9.47), представляющего собой уравнение углового коэффициента касательной к интегральной кривой в точке х, у, следует, что при

Основываясь на указанных свойствах фазовых траекторий, можно построить фазовые портреты системы, описываемой уравнением (9.45), при различных соотношениях между а и .

Предварительно полезно выяснить, нет ли среди семейства изоклин, определяемых выражением (9.48), такой прямой, которая является одновременно и интегральной кривой исходного уравнения (9.45), Такая прямая (если она имеется) должна удовлетворять уравнению (9.48) и, кроме того, условию . Отбрасывая постоянную G, приходим к двум условиям

из которых вытекает равенство и формула

Но k не может быть комплексной или мнимой величиной. Следовательно, искомая изоклина существует только при , т. е. в случае апериодического контура; при этом в пучке изоклин, определяемых выражением (9.48), имеются две интегральные кривые (рис. 9.20):

Кроме того, известна изоклина горизонтальных касательных, соответствующая k = 0 [см. (9.48).

Эти прямые, образующие «каркас» фазового портрета, в сочетании с условиями непересекаемости фазовых траекторий полностью определяют структуру фазового портрета, изображенного на рис. 9.20. Главной особенностью этого портрета является то, что при любых начальных условиях изображающая точка движется к началу координат. Таким образом, в рассматриваемом случае точка х = 0, у = 0 является точкой устойчивого равновесия системы. Эта точка называется особой точкой типа устойчивого узла.

Обратимся к случаю (колебательная система с затуханием).

В соответствии с условием (9.49) изоклины С и D отсутствуют. Кдркас фазового портрета определяется только прямой А и условием пересечения оси под прямыми углами. При угловой коэффициент этой прямой в соответствии с уравнением (9.50) отрицателен. Соответствующий этому случаю фазовый портрет, представляющий собой скручивающуюся к началу координат спираль, изображен на рис. 9.21. Из любого начального положения изображающая точка с течением времени приближается к началу координат, являющемуся точкой устойчивого равновесия. Эта точка называется особой точкой типа устойчивого фокуса.

Рассмотрим случай (колебательная система с инкрементом). Фазовый портрет отличается от показанного на рис. 9.21 лишь тем, что спираль раскручивается и изображающая точка удаляется от начала координат. Точка является особой точкой типа неустойчивого фокуса.

Применительно к рассматриваемому в следующем параграфе фазовому портрету автогенератора особый интерес приобретает случай когда уравнение (9.45) вырождается в уравнение гармонического колебания

решение которого, как известно, имеет вид

Здесь Q — амплитуда заряда конденсатора контура.

Уравнение фазовой траектории (9,47) при

уравнение с разделяющимися переменными, которое легко интегрируется:

(9.53)

Подставляя вместо выражения (9.52), получаем

Разделив обе части уравнения (9.54) на С, придем к выражению

представляющему собой уравнение эллипса с горизонтальной полуосью Q и вертикальной полуосью (рис. 9.22).

Рис. 9.19. К построению фазового портрета по методу изоклин

Рис. 9.20. Фазовый портрет апериодиче ской системы при

Рис. 9.21. Фазовый портрет системы с затуханием при

Рис. 9.22. Фазовый портрет системы, описываемой уравнением (9.54) при

Итак, при фазовые траектории представляют собой семейство эллипсов с общим центром в начале координат, причем размеры осей эллипса определяются амплитудой гармонического колебания, т. е. в конечном счете энергией, запасенной в системе. Эта энергия может быть выражена в виде (максимальная энергия в емкости) или в виде индуктивности). Так как потери отсутствуют, то запас энергии остается неизменным («консервативная» система) и каждому значению запаса энергии соответствует свой эллипс.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление