6.3. МЕТОД ИНТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ

Вместо разложения сложного сигнала на гармонические составляющие (спектральный метод) можно воспользоваться разбиеиием сигнала на достаточно короткие импульсы (рис. 6.2, а).

Если в основе спектрального метода лежит передаточная функция цепи то метод интеграла наложения базируется на импульсной характеристике цепи , введенной в § 5.3.

Пусть требуется найти сигнал ввых на выходе цепи, если задан сигнал на входе цепи и известна ее импульсная характеристика . Для уяснения сути метода интеграла наложения поступим следующим образом. Разобьем произвольный сигнал на элементарные импульсы, как это показано на рис. 6.2, а, и найдем отклик цепи в момент t на элементарный импульс (на рис. 6.2, а заштрихован), действующий на входе в момент Если бы площадь этого импульса равнялась единице, то импульс можно было бы рассматривать как дельта-функцию, возникшую в момент . При импульсной характеристике цепи отклик в момент t был бы, очевидно, равен . Поскольку, однако, заштрихованная на рис. 6.2, а площадь импульса равна (а не единице), отклик в момент t будет

Для определения полного значения выходного сигнала в момент t нужно просуммировать действие всех импульсов в промежутке от до . При суммирование сводится к интегрированию.

Следовательно,

В общем случае, если начало сигнала не совпадет с началом отсчета времени последнее выражение можно записать в форме

Рис. 6.2. Разбиение сигнала на короткие импульсы (а) и свертка сигнала с импульсной характеристикой (б)

Для реальных цепей всегда выполняется условие

т. е. при отрицательном аргументе функция должна обращаться в нуль, так как отклик не может опережать воздействие. Поэтому выражение (6.8) можно заменить выражением

(при этом имеется в виду, что для подынтегральное выражение обращается в нуль).

Приведем, наконец, еще одну форму записи, которая получается из выражения (6.8) при замене на :

Интеграл, стоящий в правой части выражения (6.8), в математике называется сверткой функций (см. § 2.7). Таким образом, приходим к следующему важному положению: сигнал на выходе линейной цепи является сверткой входного сигнала с импульсной характеристикой цепи

Из выражения (6.8) видно, что сигнал на выходе цепи в момент t получается суммированием мгновенных значений входного сигнала , взятых с весом за все предыдущее время.

В § 6.2 при суммировании спектра входного сигнала весовой функцией являлась передаточная функция цепи . В данном случае при суммировании мгновенных значений входного сигнала весовой функцией является импульсная характеристика цепи, взятая с аргументом (), т. е. функция .

Из рис. 6.2, б, построенного для момента времени видно, что отклик цепи на воздействие не может закончиться раньше, чем функция сместится вправо от на время, равное длительности импульсной характеристики . Иными словами, сигнал на выходе цепи не может быть короче

Для того чтобы при прохождении через цепь сигнал не удлинялся, требуется выполнение условия т. е. импульсная характеристика цепи должна приближаться к дельта-функции, а это равносильно требованию равномерности передаточной функции при

В § 6.4, 6.5 рассматривается прохождение некоторых управляющих сигналов через апериодические цепи. Все остальное содержание главы посвящено анализу передачи радиосигналов через узкополосные цепи.