11.8. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ И СПЕКТР СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕЙНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Пусть передаточная функция линейной параметрической цепи является вещественной функцией времени и не зависит от частоты. В § 10.2 было показано, что подобная передаточная функция характеризует цепь, в которой имеет место

Обозначим передаточную функцию через (аргумент опущен), причем функция может представлять собой как детерминированный, так и случайный процесс. Входной сигнал также может быть либо детерминированным, либо случайным процессом (с нулевым средним).

Составим выражение для ковариационной функции выходного сигнала

(11.65)

Нас интересует случай, когда передаточная функция не зависит от входного сигналах ). Тогда среднее значение произведения в (11.65) равно произведению средних значений соответствующих сомножителей, т.е.

(11.66)

где — корреляционная функция входного сигнала, а

(11.67)

— ковариационная функция цепи с коэффициентом передачи .

Из выражения (11.66) вытекает важное свойство линейной цепи с переменными параметрами: корреляционная функция выходного сигнала равна произведению корреляционных функций входного сигнала и цепи .

Для нестационарных процессов корреляционные функции в (11.66). (11.67) зависят не только от временного сдвига, но и от времени t. Этими характеристиками не всегда удобно пользоваться. Далее в примерах используются функции , получаемые усреднением по [см. (4.89)].

Применяя преобразование Фурье к усредненной по времени функции получаем также усредненный спектр выходного сигнала

(11.68)

Проиллюстрируем использование соотношений (11.65)-(11.68) на примерах.

1. Гармонический сигнал действует на входе линейной цепи с передаточной функцией

где — среднее значение коэффициента усиления цепи; — флуктуация коэффициента усиления, представляющая собой нормально распределенный стационарный случайный процесс с дисперсией

Для полной характеристики изменения во времени передаточной функции цепи должны быть заданы либо ковариационная функция , либо спектр случайного процесса .

Очевидно, что постоянной составляющей соответствует спектр Спектр второго слагаемого, т. е. зададим в форме

где — постоянные величины.

Таким образом, спектр суммы

(11.70)

Заданному спектру соответствует ковариационная функция

Найдем корреляционную функцию и спектр мощности сигнала на выходе цепи. Имея в виду соотношения (11.66) и (11.71), а также учитывая, что корреляционная функция сигнала равна

получаем

(11.72)

Находим теперь энергетический спектр с помощью выражения (11.68):

Первые два интеграла дают дельта-функции . Последние же два интеграла дают соответственно

Таким образом, окончательно

(11.73)

Функция изображена на рис. 11.13. Монохроматической составляющей выходного сигнала соответствуют две дискретные спектральные линии, а шумовой составляющей, обусловленной флуктуациями усиления сплошной спектр (на рис. 11.13 заштрихован). Этот спектр состоит из комбинационных частот, располагающихся симметрично относительно частоты сигнала (в области отрицательных симметрично относительно — ).

2. Гауссовский случайный процесс с нулевым средним и со спектром (рис. 11.14)

(11.74)

группирующимся вблизи нулевой частоты, действует на входе цепи с передаточной функцией

(11.75)

Рис. 11.13. Спектр на выходе параметрической цепи со случайной передаточной функцией при гармоническом воздействии

Рис. 11.14. Спектр на выходе параметрической цепи с передаточной функцией, изменяющейся по гармоническому закону, при воздействии гауссовского процесса

Находим корреляционную функцию входно сигнала

и ковариационную функцию цепи

(11.77)

Тогда в соответствии с (11.66) корреляционная функция выходного сигнала

(11.78)

и спектр

Функция изображена на рис. 11.14.

3. Нормально распределенный случайный процесс действует на входе цепи, передаточная функция которой является также случайным процессом с нормальным распределением.

Спектры процессов и зададим в форме как в примере — как в примере 1.

Корреляционные функции входного сигнала и рассматриваемой цепи соответственно

Находим корреляционную функцию выходного сигнала

(11.80)

и спектр

Первое слагаемое в правой части соответствует сигналу на выходе цепи с передаточной функцией (в отсутствие мультипликативной помехи), а слагаемое соответствует мультипликативной помехе. Значение этого слагаемого пропорционально произведению параметра d, характеризующего интенсивность сигнала, и параметра с, который определяет дисперсию флуктуации передаточной функции цепи .