16.7. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАДЕРЖКИ СИГНАЛА

Для иллюстрации метода воспользуемся сигналом в виде импульса (рис. 16.15)

Импульс достигает своего максимума при , так что амплитуда импульса

Спектральная плотность выбранной функции

(16.29)

Имея в виду цифровую обработку, переходим к дискретному времени тогда

и максимальное значение отсчета сигнала получается при (см. рис. 16.15).

Перейдем от спектральной плотности (16.29) к z-преобразованию

(16.30)

Получилась арифметико-геометрическая прогрессия.

Шаг дискретизации Т зададим из условия, чтобы на длительность импульса приходилось достаточно большое число отсчетов N, а постоянную b — из условия . При этом верхний предел суммирования в выражении (16.30) можно заменить на что приводит к простому результату

(16.31)

Модуль полученной функции

И

Применив к этому выражению формулу (16.20), получим:

при

Рис. 16.16. Кепстр сигнала показанного на рис. 16.15 и кепстр при и задержке

Вычислим для следующего частного случая:

Кепстр представлен на рис. 16.16. На том же рисунке показан кепстр соответствующий коэффициенту и задержке при Как видно из этого рисунка, кепстр концентрируется вблизи точки и монотонно убывает с возрастанием При обеспечивается существенное превышение над что открывает возможность измерения весьма малых задержек даже при наличии помех. В данном примере минимальная измеряемая задержка составляет всего лишь от длительности импульса.

Для реализации такого же разрешения путем укорочения зондирующего импульса его длительность должна быть не больше

Сопоставим полученный результат с тем, который можно получить с помощью метода корреляционной функции. Заметим, что структурная схема, показанная на рис. 16.11, отличается от схемы рис. 12.44 только наличием операции логарифмирования. Определим корреляционную функцию сигнала выражением

С помощью процедуры, использованной при выводе выражений нетрудно прийти к следующему результату:

Даже при и отсутствии помехи определение задержки по функции возможно лишь при задержках не меньших чем Этот результат иллюстрирует эффект, обусловленный введением операции логарифмирования перед преобразованием Фурье.

Итак, кепстральная обработка позволяет существенно облегчить определение задержки. Однако этот выигрыш достигается весьма дорогой ценой. Требуется применение широкополосного тракта обработки с очень низким уровнем шумов, поскольку уровень спектральной плотности полезного сигнала в центральной части диапазона чрезвычайно низок.

Так,

а на частоте

(16.33)

Отношение при уменьшается до .

Задача существенно облегчается при использовании сигналов, спектр которых убывает пропорционально [а не как в (16.29)].