2.6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Изложенный в § 2.3 гармонический анализ периодических сигналов можно распространить на непериодические сигналы. Пусть такой сигнал s(t) задан в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (рис. 2.11).

Выделив произвольный отрезок времени Т, включающий в себя промежуток мы можем представить заданный сигнал в виде ряда Фурье.

где , а коэффициенты в соответствии с формулой (2.22)

Подставив (2.44) в (2.43), получим

Здесь учтено, что

Вне отрезка ряд (2.43) определяет функцию где k — целое число, т. е. периодическую функцию, полученную повторением s(t) вправо и влево с периодом Т. Для того чтобы вне отрезка функция равнялась нулю, величина Т должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок Т, выбранный в качестве периода, тем меньше коэффициенты . Устремляя Т к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию , заданную в интервале (см. рис. 2.11). Число гармонических составляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при основная частота функции . Иными словами, расстояние между спектральными линиями (см. рис. 2.2), равное основной частоте становится бесконечно малым, а спектр — сплошным.

Поэтому в выражении (2.45) можно заменить на на текущую частоту , а операцию суммирования операцией интегрирования.

Таким образом, приходим к двойному интегралу Фурье

Внутренний интеграл, являющийся функцией ,

называется спектральной плотностью или спектральной характеристикой функции s(t).

В общем случае, когда пределы и не уточнены, спектральная плотность записывается в форме

После подстановки (2.48) в выражение (2.46) получаем

Рис. 2.11. Одиночный импульс

Выражения (2.48) и (2.49) называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Выражение (2.48) отличается от (2.22) только отсутствием множителя 1/Т. Следовательно, спектральная плотность обладает всеми основными свойствами коэффициентов комплексного ряда Фурье. По аналогии с (2.23) и (2.25) можно написать

где

Модуль и аргумент спектральной плотности определяются выражениями

(2.53)

Первое из этих выражений можно рассматривать как амплитудно-частотную (АЧХ), а второе — как фазо-частотную характеристики (ФЧХ) сплошного спектра непериодического сигнала s(t).

Как и в случае ряда Фурье, является четной, а — нечетной функцией частоты .

На основании формулы (2.50) нетрудно привести интегральное преобразование (2.49) к тригонометрической форме. Имеем [аргумент функции в последующих выражениях опущен]:

Из четности модуля и нечетности фазы следует, что подынтегральная функция в первом интеграле является четной, а во втором — нечетной относительно со. Следовательно, второй интеграл равен нулю и окончательно

(2.54)

Переход от комплексной формы (2.49) к тригонометрической (2.54) обычно целесообразен в конце анализа; все промежуточные выкладки при применении интеграла Фурье удобнее и проще производить на основании комплексной формы (2.49).

Отметим, что при выражение (2.47) переходит в следующее:

Следовательно, для любого сигнала s(t) спектральная плотность на нулевой частоте равна «площади сигнала». Это правило полезно для быстрого выявления структуры спектра некоторых сигналов. Примеры применения этого правила приводятся в § 2.10.