3.6. СПЕКТР КОЛЕБАНИЯ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКОЙ УГЛОВОЙ МОДУЛЯЦИИ

Используем полученные выше результаты для анализа колебания вида

Это выражение совпадает с (3.23) и (3.23) при модуляции частоты по закону . Начальная фаза , а также начальная фаза модулирующей функции v опущены для упрощения выкладок. При необходимости они легко могут быть введены в окончательные выражения.

В данном случае Подставляя в выражение (3.26), получаем

Учитывая, что множители являются периодическими функциями времени, разложим их в ряд Фурье.

В теории бесселевых функций доказываются следующие соотношения:

Здесь — бесселева функция первого рода n-го порядка от аргумента .

С помощью соотношений (3.28) и (3.29) уравнение (3.27) можно привести к виду

или в более развернутой форме

Таким образом, при частотной и фазовой модуляциях спектр колебания состоит из бесконечного числа боковых частот, расположенных попарно симметрично относительно несущей частоты и отличающихся от последней на , где — любое целое число. Амплитуда боковой составляющей , где — амплитуда немодулированного колебания, а — индекс модуляции. Отсюда следует, что вклад различных боковых частот в суммарную мощность модулированного колебания определяется величиной .

Рассмотрим режимы угловой модуляции при малых и больших значениях . Если так что имеют место приближенные равенства

то выражение (3.27) переходит в следующее:

Сравним это уравнение с уравнением для амплитудно-модулированного колебания, у которого модулирующая функция (т. е. передаваемое сообщение) такая же, как и при ЧМ. Так как выражение (3.32) получено из (3.25) для модуляции частоты по закону , то для удобства сравнения зададим модуляцию амплитуды по аналогичному закону . Тогда амплитудно-модулированное колебание запишется в форме

Из сравнения (3.32) и (3.33) видно, что при малых значениях спектр колебания, как и при AM, состоит из несущей частоты и двух боковых частот: верхней и нижней . Единственное отличие заключается в фазировке колебаний боковых частот относительно несущего колебания.

Рис. 3.15. Векторная диаграмма (а) и спектр колебания (б) при угловой модуляции с индексом m < 1

При AM фазы колебаний боковых частот симметричны относительно несущей частоты, а при угловой модуляции фаза колебания нижней боковой частоты сдвинута на 180° [знак минус перед последним слагаемым (3.32)]. Это положение иллюстрируется векторной диаграммой, показанной на рис. 3.15, а. Направление вектора при AM обозначено штриховой линией. Изменение направления этого вектора на 180° приводит к тому, что вектор модуляции DF всегда перпендикулярен к направлению вектора OD, изображающего несущее колебание. Вектор OF, изображающий результирующее колебание, изменяется как по фазе, так и по амплитуде; однако при амплитудные изменения настолько малы, что ими можно пренебречь и модуляцию можно в первом приближении рассматривать как чисто фазовую.

Спектральная диаграмма для угловой модуляции при показана на рис. 3.15, б. Равенство амплитуд колебаний боковых частот сохраняется, а фаза колебания нижней частоты сдвинута на 180°. Амплитуды колебаний боковых частот равны и поэтому в данном случае индекс модуляции совпадает по значению с коэффициентом М, характеризующим глубину изменения амплитуды при AM: Заметим, что ширина спектра при равна как и при AM. Этот результат показывает, что при очень малых девиациях (по сравнению с ) ширина спектра от не зависит.

При увеличении фазового отклонения, т. е. при возрастании , уравнение (3.32) и диаграмма на рис. 3.15, а не дают правильного представления о действительной картине явлений при частотной или фазовой модуляции. Это объясняется тем, что с помощью колебаний несущей частоты и всего лишь одной пары боковых частот невозможно представить колебание, частота или фаза которого изменяется в широких пределах, а амплитуда остается строго постоянной. Для получения правильной картины необходимо учитывать боковые частоты высших порядков в соответствии с выражением (3.31).

Рис. 3.16. Спектры колебания при угловой модуляции:

При значениях индексов от 0,5 до 1 приобретает некоторое значение вторая пара боковых частот, ввиду чего ширина спектра должна быть приравнена Далее, при приходится учитывать третью и четвертую пары боковых частот и т. д.

Рис. 3.17. Фазировка колебаний боковых частот в различные моменты времени

Спектральные диаграммы для и приведены на рис. 3.16. Фазы колебаний на этих рисунках не учитываются, однако следует иметь в виду, что при нечетных амплитуды нижних боковых частот следует брать со знаком минус. Амплитуды всех составляющих спектра представлены на этих рисунках в виде вертикальных отрезков, длины которых равны , а расстояния от отрезка , соответствующего амплитуде колебания несущей частоты, равны , где — частота модуляции, — порядковый номер боковой частоты. Амплитуда результирующего колебания принята за обозначенные на рисунках величины определяют амплитуды колебаний соответствующих частот в долях от амплитуды результирующего колебания.

Векторные диаграммы для различных моментов при построенные по выражению (3.30), представлены на рис. 3.17, a-г. При , поэтому учтены только .

Рассмотрим теперь большие значения . Вопрос сводится к выяснению зависимости бесселевой функции от порядкового номера при больших значениях аргумента т. Оказывается, что при величина более или менее равномерна при всех целых значениях меньших, чем аргумент . При близких к образует всплеск, а при дальнейшем увеличении функция быстро убывает до нуля. Общий характер этой зависимости показан на рис. 3.18 для Из рисунка видно, что наивысший номер боковой частоты, которую еще необходимо принимать в расчет, приблизительно равен индексу модуляции (в данном случае ).

Приравнивая это максимальное значение птах величине приходим к выводу, что полная ширина спектра частотно-модулированного колебания

Но , следовательно, при больших индексах модуляции ширина спектра модулированного колебания близка к удвоенной девиации частоты

Эта полоса частот обозначена в нижней части рис. 3.18.

Заметим, что в соответствии с определением [см. (3.24)] выражение «модуляция с малым индексом» эквивалентно выражению «быстрая модуляция», а выражение «модуляция с большим индексом» эквивалентно выражению «медленная модуля

Рис. 3.18. Ширина спектра ЧМ колебания при больших значениях индекса модуляции

Поэтому можно сформулировать следующее положение: при быстрой угловой модуляции (когда ) ширина спектра модулированного колебания близка к значению при медленной угловой модуляции (когда ) ширина спектра близка к значению .