10.4. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЦЕПИ С ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ПАРАМЕТРОМ

Наряду с выражением (10.15) можно дать еще одно определение передаточной функции , которое в некоторых задачах позволяет избежать обращения к импульсной характеристике. С этой целью используем выражение (10.14) для случая, когда входной сигнал является гармоническим колебанием , а соответствующий ему аналитический сигнал .

Спектральная плотность этого сигнала [см. (2.98) и (3.87)]. Подставляя вместо в формулу (10.14), получаем

откуда, опуская индекс нуль при , находим

(10.26)

Под в данном выражении следует подразумевать аналитический сигнал на выходе цепи при гармоническом воздействии на входе.

Определение (10.26) особенно эффективно, если передаточная функция изменяется во времени по периодическому закону. При периоде функцию можно представить в виде ряда Фурье:

(10.27)

где не зависящие от времени коэффициенты, в общем случае комплексные, которые можно истолковать как передаточные функции некоторых четырехполюсников с постоянными параметрами. Произведение можно рассматривать как передаточную функцию каскадного соединения двух четырехполюсников: одного с передаточной функцией не зависящей от времени, и второго с передаточной функцией изменяющейся во времени, но не зависящей от частоты входного сигнала.

Основываясь на выражении (10.27), любую параметрическую цепь с периодически изменяющимися параметрами можно представить в виде эквивалентной схемы, изображенной на рис. 10.6.

В соответствии с (10.26), при входном сигнале сигнал на выходе будет

(10.28)

Здесь четырехполюсников .

Переходя к вещественному сигналу на выходе, получаем

(10.29)

Этот результат указывает на следующее свойство цепи с переменными параметрами: при изменении передаточной функции по любому сложному, но периодическому закону с основной частотой гармонический входной сигнал с частотой образует на выходе цепи спектр, содержащий частоты и т. д.

Рис. 10.6. Схема замещения линейной цепи при периодическом изменении параметров

Рис. 10.7. К определению сигнала на выходе параметрической линии задержки

Если на вход цепи подается сложный сигнал, то все сказанное выше относится к каждой частоте со входного спектра. Само собой разумеется, что в линейной параметрической цепи никакого взаимодействия между отдельными компонентами входного спектра не существует (принцип суперпозиции) и на выходе цепи не возникает частот вида , где — различные частоты входного сигнала.

Поясним применение формул (10.26)-(10.29) на примере передаточной функции линии задержки

(10.30)

при изменении по периодическому закону

(10.31)

и при входном сигнале [соответственно ] (рис. 10.7).

Основываясь на (10.26), определяем аналитический сигнал на выходе

откуда следует

Получилось фазомодулированное колебание с индексом модуляции и со спектром, аналогичным выражению (3.31). Таким образом, коэффициенты ряда Фурье для функции в данном примере совпадают с бесселевыми функциями (см. § 3.6).