2.14. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ЧАСТОТЫ

Анализ прохождения сигналов через линейные цепи, описываемые комплексной передаточной функцией, значительно облегчается при использовании методов контурного интегрирования на плоскости комплексной частоты . Переход от действительной переменной позволяет также полностью устранить ограничения, вытекающие из требования абсолютной интегрируемости функции s(t).

Представим функцию s(t), в общем случае существующую при , в виде суммы двух функций:

из которых задана при — при .

Обращаясь к паре преобразований Фурье (2.48), (2.49), совершаем переход от к сначала для функции . Для этого домножим на , где выберем таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции в пределах .

Тогда выражение (2.49) принимает вид

причем является спектральной плотностью функции . Теперь подставим в и :

откуда

Новая функция , являющаяся не чем иным, как спектральной плотностью сигнала [см. комментарий к (2.49)], определяется выражением

откуда

(2.102)

Полученное соотношение называется преобразованием (односторонним) Лапласа функции .

Рис. 2.26. Путь интегрирования по прямой , на -плоскости (а); образование замкнутого контура добавлением дуги ABC при (б)

Рис. 2.27. Замыкание контура интегрирования для представления функции : а) при ; б) при .

Соотношение (2.101) по аналогии с выражением (2.49) часто называют обратным преобразованием Лапласа.

Сравнение выражений (2.101) и (2.49) показывает, что переход от к означает изменение пути интегрирования. В выражении (2.49) интегрирование ведется по действительной оси со, а в выражении (2.101) — по прямой, проходящей параллельно мнимой оси на расстоянии вправо от этой оси (рис. 2.26, а). Значение постоянной определяется характером подынтегральной функции в (2.101): путь интегрирования должен проходить правее полюсов этой функции.

Добавлением к прямой дуги бесконечно большого радиуса можно образовать замкнутый контур интегрирования (рис. 2.26, б). Для того чтобы добавление этой дуги не изменяло значения интеграла, нужно руководствоваться следующим правилом: при положительных значениях t контур должен быть расположен в левой полуплоскости переменного р, а при отрицательных правой.

Тогда в первом случае при [при проведении дуги в левой полуплоскости (рис. 2.27, а)] контур интегрирования охватывает все полюсы подынтегральной функции (лежащие левее прямой ) и в соответствии с теорией вычетов интеграл (2.101) определяется как

где — сумма вычетов в полюсах подынтегральной функции.

При проведении же дуги в правой полуплоскости, т. е. при (рис. 2.27, б), полюсы функции оказываются вне контура интегрирования и в соответствии с теоремой Коши интеграл по замкнутому контуру равен нулю.

Таким образом, в зависимости от способа замыкания контура интегрирования получим:

при (контур по рис. 2.27, a) определяется выражением (2.103);

при (контур по рис. 2.27, б)

(2.104)

Напомним важное свойство контурного интеграла: он не зависит от формы замкнутого контура, по которому проводится интегрирование, если только полюсы подынтегральной функции остаются внутри контура. На основании этого свойства контур, образованный добавлением дуги ABC бесконечно большого радиуса (см. рис. 2.27, а) к прямой можно произвольно деформировать при соблюдении условия, что все полюсы, расположенные левее прямой , остаются внутри контура.

Итак, вычисление интеграла (2.103) сводится к определению вычетов в полюсах подынтегральной функции.

На рис. 2.27, а показано положение полюсов для следующих функций времени:

(2.105)

Рассуждения, аналогичные предыдущим, можно привести для функции заданной при . Домножив на при выбранной таким образом, чтобы обеспечивалась абсолютная интегрируемость функции в пределах можно написать

(2.106)

Контур интегрирования для данного случая показан на рис. 2.28. Интеграл равен сумме вычетов в полюсах функции расположенных в правой полуплоскости . Эту сумму следует взять со знаком минус, поскольку при контур обходится по часовой стрелке.

Выражения (2.102), (2.106) и (2.101), (2.107) можно объединить следующим образом:

(2.108)

Соотношение (2.108) называется двусторонним преобразованием Лапласа.

Области сходимости функций на плоскости показаны на рис. 2.29. Для эта область расположена справа от прямой , на которой расположены полюсы (комплексно-сопряженные), а для — слева от прямой Область сходимости для имеет вид полосы шириной

Путь интегрирования должен проходить по прямой, расположенной внутри этой полосы и параллельной оси , а также по замыкающей дуге, расположенной в левой полуплоскости для и соответственно в правой полуплоскости для .

Одностороннее преобразование Лапласа получило особенно широкое распространение при анализе переходных процессов, связанных с действием на цепь внешней силы, когда начало отсчета времени совмещают с началом воздействия. Двустороннее преобразование Лапласа находит все большее применение при анализе процессов и функций времени, двусторонних по самой своей сути (например, корреляционных функций, рассматриваемых в § 2.18).

Рис. 2.28. Замыкание контура интегрирования для представления функции при

Рис. 2.29. Области сходимости при двустороннем преобразовании Лапласа

При рассмотрении четных функций , когда можно считать имеет место следующее соотношение:

(2.110)

Поясним применение выражений (2.106)-(2.110) на двух примерах.

1. Четная функция при (рис. 2.30). По формулам (2.102) и (2.110) находим

Тогда

(2.111)

2. Прямоугольный импульс при отсчете времени от фронта (см. рис. 2.16) или от середины импульса (см. рис. 2.14, а).

В первом случае

Во втором случае

где

Таким образом,

(2.112)

Большинство свойств преобразования Лапласа совпадает с аналогичными свойствами преобразования Фурье, изложенными в § 2.8.

Рис. 2.30. Пример функции времени, требующей применения двустороннего преобразования Лапласа

Если сигналу соответствует изображение по Лапласу , то имеются следующие соответствия:

В заключение остановимся на правилах перехода от изображения Лапласа к преобразованию Фурье (имеются в виду односторонние преобразования Лапласа).

Если на оси функция не имеет полюсов, то для такого перехода достаточно в (2.102) положить , т. е. перейти от переменной к переменной . В противном случае, чтобы избежать ошибки, необходимо определить вклад этих полюсов в спектральную плотность сигнала.

Дело в том, что интегрирование функции по полуокружности бесконечно малого радиуса с центром в полюсе приводит к гармрническому колебанию с частотой и амплитудой 1/2. Спектральная плотность такого колебания, равная , должна быть прибавлена к сплошному спектру, обусловленному интегрированием по оси .

Так, для функции с одним полюсом в точке мы ранее получили

для функции с двумя комплексно-сопряженными полюсами спектральная плотность будет

(2.113)

и т. д. (см. приложение 1).

Изображения по Лапласу и соответствующие им спектры Фурье некоторых распространенных в теории сигналов функций приведены в таблице 2.1.