12.6. Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ BPEMEHHЫХ ФУНКЦИЙ

Основываясь на приведенном в § 2.17 преобразования Лапласа дискретного сигнала [см. (2.125)] и полагая , получаем выражение

называемое прямым z-преобразованием (односторонним).

Комплексная функция определена только для области z, в которой степенной ряд (12.20) сходится.

Условие сходимости: при любых , где — постоянное действительное число, а также действительное число, являющееся радиусом сходимости, зависящим от свойств последовательности . Поскольку (12.20) определяет ряд по отрицательным степеням , область сходимости включает в себя всю z-плоскость, за исключением круга радиуса , т. е. данный ряд сходится при

В случае ограниченной последовательности в которой только конечное число членов отлично от нуля, для сходимости ряда требуется, чтобы . При этом может принимать все значения за исключением

Найдем функцию и радиус сходимости для некоторых простых временных функций

1. Последовательность отсчетов из сигнала . В этом случае и в соответствии с (12.20)

(12.21)

Нуль функции в точке полюс в точке Радиус сходимости функция сходится при

2. Последовательность отсчетов из сигнала

В этом случае и

(12.22)

Нуль , полюс

3. Последовательность отсчетов из сигнала . В этом случае и

Рис. 12.11. Положение нулей и полюсов на z-плоскости для

Нуль полюс

4. Последовательность отсчетов из сигнала

В этом случае

(1224)

Нули полюсы ,

5. Последовательность отсчетов из сигнала

В этом случае и

Нуль полюсы

Положение нулей и полюсов для приведенных выше пяти сигналов показано на рис. 12.11.

Отыскание оригинала, т. е. функции по заданному изображению производится с помощью обратного z- преобразования, которое получается подстановкой в обратное преобразование Лапласа.

Основываясь на выражении (2.127) и подставив в него , получим

(12.26)

Интегрирование ведется по окружности радиуса в которую преобразуется прямая из плоскости Постоянная с определяется из условия, что все полюсы подынтегральной функции находятся внутри круга радиуса . Обход контура — в положительном направлении (против часовой стрелки). Изменению частоты от до соответствует один обход окружности.

В рассмотренных выше примерах функций , обладающих полюсами на окружности единичного радиуса [при ], постоянная может быть сколь угодно малой. Поэтому контур интегрирования можно свести к окружности радиуса с обходом полюсов вне круга, подобно тому, как на плоскости интегрирование ведется по оси с обходом полюсов, лежащих на этой оси, справа.

С учетом этого условия выражение (12.26) можно записать в форме

(12.27)

Интегрирование по окружности из дальнейшего рассмотрения исключается, поскольку положение полюсов функции вне круга соответствует неограниченно возрастающим временнйм последовательностям, не имеющим физического смысла.

Заметим, что при интегрировании по окружности имеет место равенство что позволяет с помощью соотношения привести выражение (12.27) к виду

(12.28)

Сопоставим z-преобразование с ДПФ для последовательности . Для этого воспользуемся выражением (12.20) для значений функции в точках

(12.29)

Правая часть этого выражения полностью совпадает с выражением (12.14), из чего следует, что спектральные коэффициенты , т. е. ДПФ последовательности равны значениям z-преобразования этой последовательности в N точках, равномерно распределенных по единичной окружности.

Поскольку при использовании метода z-преобразования имеется в виду однократный обход единичной окружности, то обратное -преобразование по формуле (12.28) обеспечивает однозначное определение элементов конечной последовательности

Напомним, что обратное ДПФ по формуле (12.15) приводит к периодической последовательности с периодом N даже при конечной исходной последовательности