2.9. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ В СПЕКТРЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА

Для получения выражения, аналогичного (2.42), можно идти двумя путями: исходя из (2.42) совершить предельный переход или воспользоваться результатами предыдущего параграфа.

Рассмотрим второй путь. Для этого воспользуемся выражением (2.63).

Если представляют собой одно и то же колебание

то интеграл

представляет собой полную энергию сигнала . Кроме того, произведение спектральных плотностей приводится к виду

где — спектр сигнала — модуль этого спектра.

Таким образом, в соответствии с (2.63) приходим к окончательному результату

Это важное соотношение, устанавливающее связь между энергией сигнала и модулем его спектральной плотности, известно под названием равенства Парсеваля.

Между выражениями (2.42) и (2.66) имеется существенное различие. В § 2.5 речь шла о средней мощности периодического колебания. Операция усреднения осуществлялась делением энергии отрезка колебания за один период на величину Т. Для непериодического колебания конечной длительности усреднение энергии за бесконечно большой период дает нуль и, следовательно, средняя мощность такого колебания равна нулю.

Важно отметить, что энергия непериодического сигнала не зависит фазировки спектральных составляющих. Это является, как и для периодического сигнала, результатом ортогональности спектральных составляющих. Различие заключается лишь в интервалах ортогональности: период Т для периодического сигнала и бесконечно большой интервал для непериодического сигнала.

Из выражения (2.66) видно, что величину имеющую смысл энергии, приходящейся на 1 Гц, можно рассматривать как спектральную плотность энергии сигнала.