4.2. ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ. ПРИМЕРЫ

Применение общих определений, приведенных в предыдущем параграфе, иллюстрируется ниже на нескольких характерных случайных процессах.

Наряду с обозначением случайного процесса символом будет применяться в том же смысле обозначение под которым подразумевается случайная функция времени. Как и ранее, обозначает реализацию случайной функции

1. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ АМПЛИТУДОЙ

Пусть в выражении, определяющем сигнал

частота и начальная фаза являются детерминированными и постоянными величинами, а амплитуда А — случайная, равновероятная в интервале от 0 до величина (рис. 4.2).

Найдем одномерную плотность вероятности для фиксированного момента времени . Мгновенное значение может быть любым в интервале от 0 до причем будем считать, что . Следовательно,

Рис. 4.2. Совокупность гармонических колебаний со случайной амплитудой

Рис. 4.3. Плотность вероятности гармонического колебания со случайной амплитудой

График функции для фиксированного значения представлен на рис. 4.3.

Математическое ожиданир

Далее,

Наконец, дисперсия

Рассматриваемый случайный процесс нестационарный и неэргодический.

2. ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ СО СЛУЧАЙНОЙ ФАЗОЙ

Пусть амплитуда и частота гармонического сигнала заранее достоверно известны, а начальная фаза — случайная величина, которая с одинаковой вероятностью может принимать любое значение в интервале от до . Это означает, что плотность вероятности начальной фазы

Рис. 4.4. Совокупность гармонических колебаний со случайными фазами

Одну из реализаций случайного процесса образуемого совокупностью гармонических колебаний со случайными фазами (рис. 4.4), можно определить выражением

(4.23)

Полная фаза колебания является случайной величиной, равновероятной в интервале от до . Следовательно,

Рис. 4.5. К определению плотности вероятности гармонического колебания со случайной фазой

Рис. 4.6. Плотность вероятности гармонического колебания со случайной фазой

Найдем одномерную плотность вероятности случайного процесса . Выделим интервал (рис. 4.5) и определим вероятность того, что при измерении, проведенном в промежутке времени от до мгновенное значение сигнала окажется в интервале Эту вероятность можно записать в виде , где — искомая плотность вероятности. Очевидно, что вероятность совпадает с вероятностью попадания случайной фазы колебаний в один из двух заштрихованных на рис. 4.5 фазовых интервалов. Эта последняя вероятность равна Следовательно,

откуда искомая функция

Но

Таким образом, окончательно

График этой функции изображен на рис. 4.6.

Существенно, что одномерная плотность вероятности не зависит от выбора момента времени t, а среднее по множеству (см. (2.271.7) в [28])

(4.26)

совпадает со средним по времени

(Это справедливо для любой реализации рассматриваемого случайного процесса.)

Корреляционную функцию в данном случае можно получить усреднением произведения по множеству без обращения к двумерной плотности вероятности [см. общее выражение (4.8)]. Подставляя в (4.8)

а также учитывая, что первое слагаемое является детерминированной величиной, а второе слагаемое при статистическом усреднении с помощью одномерной плотности вероятности [см. (4.22)] обращается в нуль, получаем

Такой же результат получается и при усреднении произведения по времени для любой реализации процесса.

Независимость среднего значения от и корреляционной функции от положения интервала — на оси времени позволяет считать рассматриваемый процесс стационарным. Совпадение же результатов усреднения по множеству и времени (для любой реализации) указывает на эргодичность процесса. Аналогичным образом нетрудно показать, что гармоническое колебание со случайной амплитудой и случайной фазой образует стационарный, но не эргодический процесс (различные реализации обладают неодинаковой дисперсией).

3. ГАУССОВСКИЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Нормальный (гауссовский) закон распределения случайных величин чаще других встречается в природе. Нормальный процесс особенно характерен для помех канала связи. Он очень удобен для анализа. Поэтому случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличается от нормального, часто заменяют гауссовским процессом. Одномерная плотность вероятности нормального процесса определяется выражением

В данном параграфе рассматривается стационарный и эргодический гауссовский процесс. Поэтому под можно подразумевать соответственно постоянную составляющую и среднюю мощность флуктуационной составляющей одной (достаточно длительной) реализации случайного процесса.

Графики плотности вероятности при нормальном законе для некоторых значений изображены на рис. 4.7. Функция симметрична относительно среднего значения. Чем больше тем меньше максимум, а кривая становится более пологой [площадь под кривой равна единице при любых значениях ].

Широкое распространение нормального закона распределения в природе объясняется тем, что при суммировании достаточно большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин распределение суммы близко к нормальному при любом распределении отдельных слагаемых.

Это положение, сформулированное в 1901 г. А. М. Ляпуновым, получило название центральной предельной теоремы.

Наглядными физическими примерами случайного процесса с нормальным законом распределения являются шумы, обусловленные тепловым движением свободных электронов в проводниках электрической цепи как дробовым эффектом в электронных приборах (см. § 7.3.).

Рис. 4.7. Одномерная плотность вероятности нормального распределения

Рис. 4.8. Случайные функции с одинаковым распределением (нормальным), но с различными частотными спектрами

Не только шумы и помехи, но и полезные сигналы, являющиеся суммой большого числа незавнси случайных элементарных сигналов, например гармонических колебаний со случайной фазой или амплитудой, часто можно трактовать гауссовские случайные процессы.

На основе функции можно найти относительное время пребывания сигнала в определенном интервале уровней, отношение максимальных значений к среднеквадратическому (пикфактор) и ряд других важных для практики параметров случайного сигнала. Поясним это на примере одной из реализаций гауссовского процесса, изображенной на рис. 4.8, а для Эта функция времени соответствует шумовой помехе, энергетический спектр которой простирается от нулевой частоты до некоторой граничной частоты. Вероятность пребывания значения х(t) в интервале от а до b определяется выражением (4.1). Подставляя в это выражение (4.28), при получаем

Функция

называется интегралом вероятностей. В математических справочниках приводятся таблицы этой функции.

Таблица 4.1

Подставив в (4.29) , и соответственно нетрудно найти вероятности пребывания х(t) в полосах шириной симметричных относительно оси

В рассматриваемом частном случае формулу (4.29) можно упростить на основании симметрии функции относительно оси ординат (рис. 4.7).

Таким образом,

Результаты вычислений сведены в табл. 4.1. В последней графе приведены величины, равные Из этой таблицы следует, что ширину шумовой дорожки (рис. 4.8, а) нормального шума можно приравнять ) Если принимать во внимание пики функции х(t), вероятность которых не менее то пикфактор шума (отношение пика к ) можно оценить значением Напомним, что для гармонического колебания пикфактор равен

Отношение времени пребывания х(t) в заданном интервале к общему времени наблюдения (достаточно большому для эффективного усреднения) можно трактовать как вероятность попадания х(t) в указанный интервал. На такой трактовке основан принцип построения различных приборов, используемых для экспериментального нахождения одномерной плотности вероятности случайного процесса.

Можно отметить, что приведенные выше данные о распределении вероятностей не дают никаких представлений о поведении функции х(t) во времени. На рис. 4.8, б показана реализация гауссовского процесса со спектром, сосредоточенным в узкой полосе частот с центральной частотой По своей плотности вероятности и, следовательно, по значениям этот процесс не отличается от низкочастотного, показанного на рис. 4.8, а.

Для описания временных характеристик функции необходимо привлечь двумерную плотность вероятности, позволяющую найти ковариационную функцию Другой способ — нахождение спектра мощности случайного процесса. Он рассматривается в следующем параграфе.