Глава 14. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ НЕКОТОРЫМИ СПЕЦИАЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

14.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В § 2.2 отмечалось, что в зависимости от класса сигнала ортогональные системы специальных функций могут быть подобраны таким образом, чтобы требуемая точность представления обеспечивалась при минимуме членов ряда.

Условия ортонормированности этих функций на заданном интервале записываются в форме

От определения (2.4) это выражение отличается множителем под знаком интеграла, называемым весовой функцией или функцией веса. Говорят, что функции ортогональны с весом Это означает, что ортогональны не эти функции, а функции

При определении коэффициентов обобщенного ряда Фурье, аппроксимирующего функцию следует исходить из формулы, аналогичной (2.9), но с учетом весовой функции

где

— квадрат нормы функции .

Для представления сигналов наиболее употребительны ортогональные полиномы и функции Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, а также кусочно-постоянные функции Хаара, Радемахера и Уолша.

Для представления непрерывных сигналов необходимо использовать систему непрерывных ортогональных функций, для представления дискретных (цифровых) сигналов — систему дискретных ортогональных функций, которые получаются из непрерывных функций путем дискретизации.

Ортогональные полиномы и функции Лежандра, Чебышева, Лагерра и Эрмита (им посвящены § 14.2 и 14.3) используются преимущественно для представления непрерывных сигналов, а функции Уолша чаще используются для представления дискретных сигналов. Последние приобрели особо важное значение в связи с развитием вычислительной техники. Рассмотрению непрерывных функций Уолша посвящены § 14.4, 14.5, а дискретных — § 14.6.