9.6. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ АВТОГЕНЕРАТОРА

В предыдущих параграфах данной главы изучались условия возникновения колебаний и определялась устойчивость стационарного режима автогенератора. Необходимо рассмотреть весь процесс установления автоколебаний: от включения до установления стационарного режима. Это важно для ряда приложений, когда приходится иметь дело с формированием коротких радиоимпульсов (например, в импульсных радиосистемах). Для полного описания работы автогенератора, охватывающего все стадии процесса установления, необходимо отказаться от условия малости амплитуд, лежащего в основе линейного дифференциального уравнения (9.8).

Использованное при составлении этого уравнения линейное соотношение (9.7), которое можно привести к виду

необходимо заменить нелинейной функцией

определяющей ток при любых значениях

Запишем аргумент нелинейной функции в форме

где

Тогда

Подстановка (9.5) и (9.29) в (9.4) приводит к уравнению

Дифференцируя (9.30) по t, получаем

или

Как и следовало ожидать, получилось нелинейное уравнение. Дальнейший путь заключается в подстановке в уравнение (9.32) какой-либо подходящей аппроксимации функции .

Наиболее удобной является аппроксимация с помощью степенного полинома. Чтобы не слишком усложнять задачу, обычно исходят из неполного полинома третьей степени [см. (8.13)]

Входящее в выражение (8.13) слагаемое опущено, так как оно не влияет, на поведение функции Знак минус перед кубическим членом взят в соответствии с формулой (8.14).

Аппроксимация (9.33) пригодна при фиксированном положении рабочей точки на вольт-амперной характеристике (в точке перегиба, см. рис. 8.5). Следовательно, при этом не учитывается изменение напряжения смещения в процессе нарастания амплитуды колебания (при автоматическом смещении). Тем не менее, как показывает опыт, аппроксимация (9.33) все же позволяет выявить основные черты процесса установления колебаний в генераторе, работающем в мягком режиме.

Подставляя (9.33) в (8.32), получаем

ИЛИ

где использованы обозначения

Заметим, что в самовозбуждающемся генераторе (см. § 9.2). Разделив (9.34) на и введя малый параметр

получим

Переходя, наконец, к безразмерному времени и к безразмерному напряжению

получаем уравнение, известное под названием уравнения Ван дер Поля:

При малых напряжениях, когда уравнение (9.38) переходит в линейное уравнение, совпадающее с (9.8). С увеличением напряжения и все сильнее проявляется нелинейность устройства, обусловленная величиной

Методов, позволяющих получить точное решение нелинейного уравнения (9.38), не существует. Имеется, однако, возможность получения очень простого приближенного решения, обеспечивающего вполне достаточную для практики точность при использовании высокодобротного колебательного контура. Известно, что для существенного изменения амплитуды и, следовательно, запасенной в таком контуре энергии требуется время, измеряемое значительным числом периодов колебания. Поэтому можно исходить из допущения о медленном изменении амплитуды при запуске генератора. Это дает основание отыскивать решение нелинейного уравнения (9.38) в форме высокочастотного колебания

Итак, для отыскания приближенного решения уравнения (9.38) остается найти только функцию , т. е. огибающую амплитуд колебания. Частота колебания просто приравнивается , а начальная фаза, которая в решении (9.39) опущена, может быть принята любой в зависимости от начальных условий запуска генератора.

После подстановки (9.39) в (9.38) делается ряд упрощений, основанных на отбрасывании слагаемых высших порядков малости. Во-первых, условие медленности функции позволяет пренебречь второй производной этой функции. Во-вторых, высокая избирательность контура позволяет пренебречь слагаемыми вида получающимися при возведении в куб . В результате имеем следующее уравнение для квадрата огибающей :

Стационарная амплитуда определяется сразу, достаточно приравнять нулю производную от Таким образом,

откуда

Решив уравнение (9.40) и совершив переход от и к первоначальным переменным t и придем к окончательному выражению для мгновенного значения напряжения:

где — начальные амплитуда и фаза напряжения на контуре, зависящие от условий запуска автогенератора.

Рис. 9.17. Процесс установления колебания в автогенераторе

Рис. 9.18. Нарастание огибающей автоколебания при различных начальных условиях

Как правило, . Поэтому при малых значениях знаменатель

и выражение (9.42) принимает вид

совпадающий с видом выражения (9.10), выведенного для линейного режима (при малых амплитудах).

При (стационарный режим) выражение (9.42) переходит в

Ограничение амплитуд, обусловленное введением кубического члена в аппроксимацию вольт-амперной характеристики (9.33), иллюстрируется рис. 9.17.

Характер изменения огибающей при нескольких значениях параметра показан на рис. 9.18.

Из выражения (9.42) и рис. 9.18 видно, что время установления стационарной амплитуды существенно зависит от начальной амплитуды, т. е. от начальных условий запуска. Это имеет важное значение для генераторов, работающих в импульсном режиме.

В заключение отметим, что для удовлетворительного описания процесса установления колебаний при жестком режиме самовозбуждения требуется использование полинома (8.8) с учетом по крайней мере еще и пятой степени.