2.11. БЕСКОНЕЧНО КОРОТКИЙ ИМПУЛЬС С ЕДИНИЧНОЙ ПЛОЩАДЬЮ (ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ)

Некоторые из возможных импульсов, площадь которых равна единице, изображены на рис. 2.22. Амплитуды всех этих импульсов обратно пропорциональны соответствующим образом определенной длительности. При стремлении длительности к нулю амплитуда обращается в бесконечность, а площадь импульса остается неизменной и равной единице.

Амплитуду прямоугольного импульса следует приравнять величине (рис. 2.22, а), где — длительность импульса.

При гауссовском импульсе (рис. 2.22, б) амплитуда должна быть приравнена поскольку

Наконец, для импульса вида (рис. 2.22, в), площадь которого равна единице, амплитуда равна Длительность импульса (главного лепестка) обратно пропорциональна параметру

При устремлении параметров нулю, к бесконечности все три изображенные на рис. 2.22 функции можно определить следующим образом:

при одновременном условии

Функция обладающая указанными свойствами, называется единичным импульсом, импульсной функцией или дельта-функцией (а также функцией Дирака).

Применительно к исходным функциям, изображенным на рис. 2.22, б и в, дельта-функция должна быть определена выражениями

Возможны и другие многочисленные определения .

При сдвиге импульса по оси на величину определения (2.85), (2.86) должны быть записаны в более общей форме

Рис. 2.22. Импульсы, обращающиеся в дельта-функцию при стремлении длительности к нулю

Функция обладает важными свойствами, благодаря которым она получила широкое распространение в математике, физике и технике.

Из определений (2.87), (2.88) вытекает основное соотношение

Так как определению функция равна нулю на всей оси кроме точки (где она бесконечно велика), то промежуток интегрирования можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точку . В этом промежутке функции принимает постоянное значение которое можно вынести за знак интеграла. Таким образом, умножение любой подынтегральной функции на позволяет приравнять интеграл произведения значению в точке

В математике соотношение (2.91) называется фильтрующим свойством дельта-функции.

В теории сигналов приходится иметь дело с дельта-функциями от аргументов t или со, в зависимости от того, в какой области рассматривается функция — во временнбй или частотной.

Рассмотрим сначала свойства функции . В этом случае основное значение имеет спектральная характеристика дельта-функции. В § 2.10 было установлено, что при сокращении длительности прямоугольного импульса (неизменной амплитуды) ширина основного лепестка спектральной плотности увеличивается, а величина 5 (0) быстро уменьшается. В данном же случае, когда уменьшение длительности импульса сопровождается одновременным увеличением его амплитуды, значение спектральной плотности остается неизменным и равным величине 5 (0) I для всех частот То же самое имеет место при укорочении любого из импульсов, показанных на рис. 2.22.

Следовательно, спектральная плотность дельта-функции вещественна и равна единице для всех частот. Из этого также вытекает, что ФЧХ спектра дельта-функции равна нулю для всех частот. Это означает, что все гармонические составляющие единичного импульса при нулевых начальных фазах, суммируясь, образуют пик бесконечно большой величины в момент, времени t = 0.

Аналогично функция , определяющая единичный импульс в момент имеет спектральную плотность Модуль этой функции по-прежнему равен единице, а ФЧХ .

Найденная ранее спектральная плотность дельта-функции может быть получена и с помощью преобразования Фурье:

Используя свойство (2.91), находим

При . Следует иметь в виду, что правая часть равенства является размерной единицей: это площадь импульса, численно равная единице. Если под подразумевается импульс напряжения, то размерность есть вольт секунда

Можно, очевидно, и представить в ввде обратного преобразования Фурье от

Энергия единичного импульса бесконечно велика. При спектральном рассмотрении это вытекает из равенства Парсеваля [см. (2.66)], правая часть которого при ) обращается в бесконечность. При временном рассмотрений это следует из того, что энергия импульса, пропорциональная квадрату его амплитуды (т. е. величине ) и первой степени длительности с укорочением импульса растет как . При энергия бесконечно велика.

Понятие единичного импульса особенно широко используется при исследовании действия коротких импульсов на линейные цепи. При этом не обязательно, чтобы амплитуда реального импульса была бесконечно велика, а длительность бесконечно мала. Достаточно, чтобы длительность импульса была мала по сравнению с постоянной времени исследуемой цепи (или по сравнению с периодом собственного колебания цепи).

Рассмотрим теперь свойства . Все, что ранее было сказано относительно можно распространить на при замене t на и на

По аналогии с выражением (2.93) можем написать

(Перемена знака в показателе степени в данном случае не влияет на значение интеграла, см. § 2.8, п. 7.) Соответственно