3.10. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ

В электротехнике при анализе воздействия гармонического колебания (напряжение, ток) на линейную цепь его принято представлять в форме

или

где — комплексная амплитуда.

Часто символ или опускают и пишут просто

подразумевая действительную или мнимую часть этого выражения.

Такое представление позволяет использовать преимущества методов теории функций комплексной переменной с последующим возвратом в конце анализа к тригонометрической форме путем отбрасывания мнимой части.

В современной радиотехнике представление колебаний в комплексной форме распространено на негармонические колебания.

Если задан физический сигнал в виде действительной функции , то соответствующий ему комплексный сигнал представляется в форме

где — функция, сопряженная по Гильберту сигналу

Заметим, что и в выражении (3.84) мнимая часть комплексной функции является функцией, сопряженной по Гильберту действительной части.

Главная особенность определенного таким образом комплексного сигнала заключается в том, что его спектральная плотность

содержит только положительные частоты. Действительно, согласно (3.68), (3.69) при , а при . Следовательно,

Так, если узкополосному сигналу соответствует спектральная плотность , модуль которой изображен на рис. 3.26 штриховой линией, то сигналу соответствует спектральная плотность , модуль которой изображен на том же рисунке сплошной линией. Интеграл Фурье для сигнала принимает следующий вид:

где — спектральная плотность исходного (физического) сигнала .

Комплексный сигнал, определяемый выражениями (3.85) и (3.86), называется аналитическим сигналом.

Пусть задан физический сигнал

и требуется определить соответствующий ему аналитический сигнал Исходя из общего выражения (3.62) для сопряженной функции можно написать

Точное определение при сложной функции является трудной задачей, которую можно обойти, если исходный сигнал , является достаточно узкополосным процессом. Можно показать, что в этом случае

Таким образом, аналитический сигнал можно записать в следующем виде:

где

представляет собой комплексную огибающую узкополосного сигнала.

Соотношения между иллюстрируются векторной диаграммой на рис. 3.27. Модуль комплексной огибающей, равный [поскольку при любом законе изменения ], содержит информацию только об амплитудной модуляции колебания, а фазовый множитель — только об угловой модуляции. В целом же произведение содержит полную информацию о сигнале (за исключением несущей частоты , которая предполагается известной).

Это свойство комплексной огибающей, позволяющее при анализе узкополосных сигналов исключить из рассмотрения частоту придает важное значение понятию «аналитический сигнал».

Рассмотрим основные свойства аналитического сигнала и комплексной огибающей.

1. Произведение аналитического сигнала на сопряженный ему сигнал равно квадрату огибающей исходного (физического) сигнала

Действительно,

Таким образом, модуль аналитического сигнала равен просто огибающей сигнала .

2. Спектральная плотность комплексной огибающей совпадает со смещенной на влево спектральной плотностью аналитического сигнала

Основываясь на общей формуле (2.48), можно написать

Рис. 3.26. Соотношение между спектрами физического и аналитического сигналов

Рис. 3.27. Соотношение между амплитудой аналитического сигнала и функциями

Рис. 3.28. Соотношение между спектрами комплексной огибающей и аналитического сигнала

Подставляя в это выражение получаем

Это соотношение является обобщением формулы (2.58) на случай комплексной функции времени умножаемой на (вместо в § 2.7, п. 3). Выражение (3.9), выведенное для вещественной огибающей (при чисто амплитудной модуляции), является частным случаем общего выражения (3.92).

Введя обозначение перепишем (3.92) в несколько иной форме

[см. (3.87)].

Соотношение между спектрами иллюстрирует рис. 3.28. Особо следует отметить, что спектр комплексной огибающей не обязательно симметричен относительно нулевой частоты (см. рис. 3.28). Если спектр физического колебания несимметричен относительно как это может иметь место, например, при амплитудноугловой модуляции (см. § 3.8), то и функция несимметрична: после сдвига на величину влево спектр комплексной огибающей будет несимметричен относительно частоты . В любом случае функция отлична от нуля в области частот . Следовательно, комплексная функция не является аналитическим сигналом. Это объясняется тем, что действительная и мнимая части не являются функциями, сопряженными по Гильберту.

3. Корреляционная функция аналитического сигнала, определяемая общим выражением

является комплексной функцией.

Действительно, выразив через модуль спектральной плотности сигнала с помощью выражения вида (2.136), получим

Действительная часть этого выражения есть не что иное, как удвоенная корреляционная функция исходного физического колебания , т. е. , а мнимая часть учитывает взаимную корреляцию колебаний

Для раскрытия смысла мнимой части выражения (3.95) вернемся к общему определению корреляционной функции (3.94) и запишем ее в форме

В § 2.19 было установлено, что корреляционная функция действительного сигнала зависит только от модуля спектральной плотности. Так как модули спектров функций одинаковы (см. § 3.9), то первые два интеграла в (3.95) равны и в сумме дают . Следовательно, мнимые части в выражениях (3.95), (3.95) совпадают и можно написать следующее равенство:

Но в соответствии с так что левую часть можно записать в форме Далее, правая часть, содержащая под интегралом множитель , является нечетной функцией , откуда следует, что и разность является нечетной функцией. Это возможно только при нечетности функции . Таким образом, приходим к равенству и соответственно к соотношению

Формулу (3.95) теперь можно представить в виде

Итак, откуда вытекает полезное соотношение между корреляционной функцией исходного действительного сигнала и корреляционной функцией аналитического сигнала

4. Корреляционные функции аналитического сигнала и комплексной огибающей этого сигнала связаны между собой соотношением

Рис. 3.29. Формирование аналитического сигнала, соответствующего заданному вещественному сигналу a(t)

Действительно, подставив в , получим важное соотношение

в котором интеграл есть корреляционная функция комплексной огибающей . Поэтому выражение (3.97) можно записать в форме

(3.97)

В частности, при получаем

(3.100)

Из этого выражения видно, что, поскольку , энергия аналитического сигнала равна удвоенной энергии исходного действительного сигнала.

Следует указать, что применение понятия энергии к комплексной функции имеет не только формальный смысл. В гл. 13 будет показано, что в некоторых устройствах обработки сигналов приходится иметь дело с совокупностью двух функций времени, сопряженных по Гильберту, т. е. с аналитическим сигналом как с физическим процессом.

Формирование аналитического сигнала можно пояснить на простой модели, показанной на рис. 3.29. Исходный сигнал подается на выход непосредственно по прямому каналу и через фазосдвигающее устройство, обеспечивающее сдвиг на —90° для всех спектральных составляющих узкополосного сигнала . В результате такого сдвига получается колебание сопряженное по Гильберту функции a(t). Следовательно, совокупность действующую на выходе, можно трактовать как аналитический сигнал

В последующих главах будут даны примеры применения понятия «аналитический сигнал» как для упрощения анализа прохождения через радиоцепи сигналов действительных, так и для описания совокупности двух квадратурных сигналов.