5.10. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Требование, чтобы передаточная функция

не имела полюсов в правой полуплоскости , т. е. в области, ограниченной полуокружностью бесконечно больщого радиуса R и осью (рис. 5.24, а), равносильно условию, что знаменатель выражения (5.90), не должен иметь нулей в указанной области или, что то же самое, функция

не должна обращаться в единицу ни в одной из точек правой полуплоскости . Но представляет собой передаточную функцию разомкнутого кольца обратной связи, т. е. отношение напряжения на зажимах 2—2' к напряжению на зажимах 1—1' при разомкнутом кольце, как это показано на рис. 5.25. Следовательно, об устойчивости системы с обратной связью можно судить по характеристикам разомкнутого тракта.

Для дальнейшего анализа целесообразно перейти от плоскости к плоскости (рис. 5.24, б). Каждой точке плоскости соответствует определенное значение Н на плоскости Любой замкнутый контур на плоскости преобразуется с помощью выражения (5.91) в некоторый (также замкнутый) контур на плоскости Н.

Если исходный контур на плоскости задан в виде контура на рис. 5.24, а, соответствующий ему контур на плоскости Н называется годографом функции Н.

Показанный на рис. 5.24, а контур С можно разбить на два участка: 1) прямая от до и 2) полуокружность бесконечно большого радиуса

На первом участке, где функция обращается в функцию . В соответствии с выражением (5.91) этот участок преобразуется на плоскости Н в линию, определяемую следующим соотношением:

откуда

Рис. 5.24. Замкнутый контур на -плоскости (а) и годограф функции на плоскости

Рис. 5.25. К определению передаточной функции разомкнутого тракта усилитель — четырехполюсник обратной связи

В этих выражениях — аргументы передаточных функций соответственно четырехполюсников .

На втором участке контура С (см. рис. 5.24, а) при функция Это вытекает из общего выражения

которое при можно представить в виде (здесь В—постоянный коэффициент, — соответственно нули и полюсы функции

Совершенно аналогично и функцию при можно представить в форме где — числа соответственно нулей и полюсов функции

При модуль функции на полуокружности равен нулю. Таким образом, полуокружность бесконечно большого радиуса R на плоскости преобразуется в точку, лежащую в начале координат на плоскости Н, и для построения годографа Н в виде замкнутого контура достаточно знать поведение на оси , т. е. знать АЧХ и ФЧХ цепи

Обходу контура С на рис. 5.24, а в положительном направлении (против часовой стрелки) соответствует обход годографа Н при изменении частоты от до , т. е. также против часовой стрелки (см. рис. 5.24, б).

Очевидно, что вся правая полуплоскость преобразуется на плоскости Н во внутреннюю область годографа. Следовательно, если годограф передаточной функции разомкнутого тракта не охватывает точку , то при замкнутой цепи обратной связи система устойчива, в противном случае система неустойчива.

Это условие называется критерием устойчивости Найквиста.

Показанная на рис. 5.24, б диаграмма соответствует устойчивой системе. Это видно из того, что годограф Н не охватывает точку . Сплошной линией показана часть контура, соответствующая положительным частотам , а штриховой — часть контура, соответствующая отрицательным частотам. Так как функция и четная, нечетная относительно то оба участка годографа симметричны относительно действительной оси.

Следует также отметить, что рис. 5.24, б построен для случая, когда при передаточная функция отлична от нуля (это возможно, например, для усилителей постоянного тока, в которых отсутствуют разделительные конденсаторы).

При сложной схеме цепи форма годографа иногда бывает настолько усложненной, что по ней трудно судить о том, охватывается или не охватывается годографом точка 1, ДО. В подобных случаях оказывается полезным критерий, вытекающий из критерия Найквиста, основанный на подсчете числа пересечений оси и на участке . Для устойчивости цепи необходимо, чтобы годограф либо вообще не пересекал этот отрезок (как на рис. 5.24, б), либо пересекал его в положительном и отрицательном направлениях одинаковое число раз.

Критерий Найквиста получил наибольшее распространение в радиоэлектронике, автоматике и других смежных областях. Основное его преимущество: удобство оперирования АЧХ и ФХ разомкнутой цепи.

В некоторых системах, например содержащих линии, этот метод по существу является единственно приемлемым.

Суть частотного критерия можно наглядно пояснить не прибегая к полярным диаграммам, на основе обычных АЧХ и ФЧХ разомкнутой цепи

Действительно, длина вектора как это ясно из выражения (5.92), есть не что иное, как модуль коэффициента передачи разомкнутой цепи , т. е. АЧХ этой цепи, а аргумент (рис. 5.26), равный

(5.94)

Совместив на общем графике АЧХ и ФЧХ, нетрудно ответить на вопрос об устойчивости цепи.

Если при изменении от 0 до фаза не достигает , то замкнутая цепь устойчива при любом значении . С другой стороны, если при любой частоте меньше единицы, то цепь устойчива при любой ФЧХ. Цепь неустойчива если имеются частоты, при которых одновременно выполняются два условия:

(5.95)

По существу эти два условия необходимы для обращения в нуль знаменателя в выражении (5.76), определяющем передаточную функцию замкнутой цепи.

Пример АЧХ и ФЧХ устойчивой цепи с обратной связью показан на рис. 5.26, а неустойчивой — на рис. 5.27. В первом случае на частоте соответствующей модуль Во втором случае — частота паразитной генерации. На рис. 5.26 и 5.27 отложены абсолютные значения . При учете знака реальных наклон ФЧХ будет отрицательным.

При построении этих характеристик учтено, что при величина обращается в нуль. При это обусловлено влиянием последовательно включенных конденсаторов в канале или , а при — влиянием шунтирующих емкостей (межэлектродных, монтажа и т. д.). Полное изменение фазы при изменении от 0 до зависит от числа звеньев в усилителе и в цепи обратной связи.

Для более сложных цепей, когда набег фазы в тракте может быть больше приходится прибегать к критерию Найквиста.

Рис. 5.26. Амплитудно- и фазо-частотная характеристики устойчивого усилителя с обратной связью

Рис. 5.27. Амплитудно- и фазо-частотная характеристики неустойчивого усилителя