5.10. ×ÀÑÒÎÒÍÛÅ ÊÐÈÒÅÐÈÈ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
Òðåáîâàíèå, ÷òîáû ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ
íå èìåëà ïîëþñîâ â ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè
, ò. å. â îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ïîëóîêðóæíîñòüþ áåñêîíå÷íî áîëüùîãî ðàäèóñà R è îñüþ
(ðèñ. 5.24, à), ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ, ÷òî çíàìåíàòåëü âûðàæåíèÿ (5.90), íå äîëæåí èìåòü íóëåé â óêàçàííîé îáëàñòè èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ôóíêöèÿ
íå äîëæíà îáðàùàòüñÿ â åäèíèöó íè â îäíîé èç òî÷åê ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè
. Íî
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ ðàçîìêíóòîãî êîëüöà îáðàòíîé ñâÿçè, ò. å. îòíîøåíèå íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ 2—2' ê íàïðÿæåíèþ íà çàæèìàõ 1—1' ïðè ðàçîìêíóòîì êîëüöå, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 5.25. Ñëåäîâàòåëüíî, îá óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ ìîæíî ñóäèòü ïî õàðàêòåðèñòèêàì ðàçîìêíóòîãî òðàêòà.
Äëÿ äàëüíåéøåãî àíàëèçà öåëåñîîáðàçíî ïåðåéòè îò ïëîñêîñòè
ê ïëîñêîñòè
(ðèñ. 5.24, á). Êàæäîé òî÷êå
ïëîñêîñòè
ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå Í íà ïëîñêîñòè
Ëþáîé çàìêíóòûé êîíòóð íà ïëîñêîñòè
ïðåîáðàçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ (5.91) â íåêîòîðûé (òàêæå çàìêíóòûé) êîíòóð íà ïëîñêîñòè Í.
Åñëè èñõîäíûé êîíòóð íà ïëîñêîñòè
çàäàí â âèäå êîíòóðà íà ðèñ. 5.24, à, ñîîòâåòñòâóþùèé åìó êîíòóð íà ïëîñêîñòè Í íàçûâàåòñÿ ãîäîãðàôîì ôóíêöèè Í.
Ïîêàçàííûé íà ðèñ. 5.24, à êîíòóð Ñ ìîæíî ðàçáèòü íà äâà ó÷àñòêà: 1) ïðÿìàÿ
îò
äî
è 2) ïîëóîêðóæíîñòü áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ðàäèóñà
Íà ïåðâîì ó÷àñòêå, ãäå
ôóíêöèÿ
îáðàùàåòñÿ â ôóíêöèþ
.  ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (5.91) ýòîò ó÷àñòîê ïðåîáðàçóåòñÿ íà ïëîñêîñòè Í â ëèíèþ, îïðåäåëÿåìóþ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:
îòêóäà
Ðèñ. 5.24. Çàìêíóòûé êîíòóð íà
-ïëîñêîñòè (à) è ãîäîãðàô ôóíêöèè
íà ïëîñêîñòè
Ðèñ. 5.25. Ê îïðåäåëåíèþ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ðàçîìêíóòîãî òðàêòà óñèëèòåëü — ÷åòûðåõïîëþñíèê îáðàòíîé ñâÿçè
 ýòèõ âûðàæåíèÿõ
— àðãóìåíòû ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ñîîòâåòñòâåííî ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ
.
Íà âòîðîì ó÷àñòêå êîíòóðà Ñ (ñì. ðèñ. 5.24, à) ïðè
ôóíêöèÿ
Ýòî âûòåêàåò èç îáùåãî âûðàæåíèÿ
êîòîðîå ïðè
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
(çäåñü —ïîñòîÿííûé êîýôôèöèåíò,
— ñîîòâåòñòâåííî íóëè è ïîëþñû ôóíêöèè
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî è ôóíêöèþ
ïðè
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå
ãäå
— ÷èñëà ñîîòâåòñòâåííî íóëåé è ïîëþñîâ ôóíêöèè
Ïðè
ìîäóëü ôóíêöèè
íà ïîëóîêðóæíîñòè
ðàâåí íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, ïîëóîêðóæíîñòü áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ðàäèóñà R íà ïëîñêîñòè
ïðåîáðàçóåòñÿ â òî÷êó, ëåæàùóþ â íà÷àëå êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè Í, è äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãîäîãðàôà Í â âèäå çàìêíóòîãî êîíòóðà äîñòàòî÷íî çíàòü ïîâåäåíèå
íà îñè
, ò. å. çíàòü À×Õ è Ô×Õ öåïè
Îáõîäó êîíòóðà Ñ íà ðèñ. 5.24, à â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè) ñîîòâåòñòâóåò îáõîä ãîäîãðàôà Í ïðè èçìåíåíèè ÷àñòîòû îò
äî
, ò. å. òàêæå ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ñì. ðèñ. 5.24, á).
Î÷åâèäíî, ÷òî âñÿ ïðàâàÿ ïîëóïëîñêîñòü
ïðåîáðàçóåòñÿ íà ïëîñêîñòè Í âî âíóòðåííþþ îáëàñòü ãîäîãðàôà. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ãîäîãðàô ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè ðàçîìêíóòîãî òðàêòà íå îõâàòûâàåò òî÷êó
, òî ïðè çàìêíóòîé öåïè îáðàòíîé ñâÿçè ñèñòåìà óñòîé÷èâà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèñòåìà íåóñòîé÷èâà.
Ýòî óñëîâèå íàçûâàåòñÿ êðèòåðèåì óñòîé÷èâîñòè Íàéêâèñòà.
Ïîêàçàííàÿ íà ðèñ. 5.24, á äèàãðàììà ñîîòâåòñòâóåò óñòîé÷èâîé ñèñòåìå. Ýòî âèäíî èç òîãî, ÷òî ãîäîãðàô Í íå îõâàòûâàåò òî÷êó
. Ñïëîøíîé ëèíèåé ïîêàçàíà ÷àñòü êîíòóðà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîëîæèòåëüíûì ÷àñòîòàì
, à øòðèõîâîé — ÷àñòü êîíòóðà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îòðèöàòåëüíûì ÷àñòîòàì. Òàê êàê ôóíêöèÿ è
÷åòíàÿ,
íå÷åòíàÿ îòíîñèòåëüíî
òî îáà ó÷àñòêà ãîäîãðàôà ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî äåéñòâèòåëüíîé îñè.
Ñëåäóåò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî ðèñ. 5.24, á ïîñòðîåí äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ïðè
ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ
îòëè÷íà îò íóëÿ (ýòî âîçìîæíî, íàïðèìåð, äëÿ óñèëèòåëåé ïîñòîÿííîãî òîêà, â êîòîðûõ îòñóòñòâóþò ðàçäåëèòåëüíûå êîíäåíñàòîðû).
Ïðè ñëîæíîé ñõåìå öåïè ôîðìà ãîäîãðàôà èíîãäà áûâàåò íàñòîëüêî óñëîæíåííîé, ÷òî ïî íåé òðóäíî ñóäèòü î òîì, îõâàòûâàåòñÿ èëè íå îõâàòûâàåòñÿ ãîäîãðàôîì òî÷êà 1, ÄÎ.  ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì êðèòåðèé, âûòåêàþùèé èç êðèòåðèÿ Íàéêâèñòà, îñíîâàííûé íà ïîäñ÷åòå ÷èñëà ïåðåñå÷åíèé îñè è
íà ó÷àñòêå
. Äëÿ óñòîé÷èâîñòè öåïè íåîáõîäèìî, ÷òîáû ãîäîãðàô ëèáî âîîáùå íå ïåðåñåêàë ýòîò îòðåçîê (êàê íà ðèñ. 5.24, á), ëèáî ïåðåñåêàë åãî â ïîëîæèòåëüíîì è îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèÿõ îäèíàêîâîå ÷èñëî ðàç.
Êðèòåðèé Íàéêâèñòà ïîëó÷èë íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèå â ðàäèîýëåêòðîíèêå, àâòîìàòèêå è äðóãèõ ñìåæíûõ îáëàñòÿõ. Îñíîâíîå åãî ïðåèìóùåñòâî: óäîáñòâî îïåðèðîâàíèÿ À×Õ è ÔÕ ðàçîìêíóòîé öåïè.
 íåêîòîðûõ ñèñòåìàõ, íàïðèìåð ñîäåðæàùèõ ëèíèè, ýòîò ìåòîä ïî ñóùåñòâó ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî ïðèåìëåìûì.
Ñóòü ÷àñòîòíîãî êðèòåðèÿ ìîæíî íàãëÿäíî ïîÿñíèòü íå ïðèáåãàÿ ê ïîëÿðíûì äèàãðàììàì, íà îñíîâå îáû÷íûõ À×Õ è Ô×Õ ðàçîìêíóòîé öåïè
Äåéñòâèòåëüíî, äëèíà âåêòîðà
êàê ýòî ÿñíî èç âûðàæåíèÿ (5.92), åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ìîäóëü êîýôôèöèåíòà ïåðåäà÷è ðàçîìêíóòîé öåïè
, ò. å. À×Õ ýòîé öåïè, à àðãóìåíò
(ðèñ. 5.26), ðàâíûé
(5.94)
Ñîâìåñòèâ íà îáùåì ãðàôèêå À×Õ è Ô×Õ, íåòðóäíî îòâåòèòü íà âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè öåïè.
Åñëè ïðè èçìåíåíèè
îò 0 äî
ôàçà
íå äîñòèãàåò
, òî çàìêíóòàÿ öåïü óñòîé÷èâà ïðè ëþáîì çíà÷åíèè
. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè
ïðè ëþáîé ÷àñòîòå ìåíüøå åäèíèöû, òî öåïü óñòîé÷èâà ïðè ëþáîé Ô×Õ. Öåïü íåóñòîé÷èâà åñëè èìåþòñÿ ÷àñòîòû, ïðè êîòîðûõ îäíîâðåìåííî âûïîëíÿþòñÿ äâà óñëîâèÿ:
(5.95)
Ïî ñóùåñòâó ýòè äâà óñëîâèÿ íåîáõîäèìû äëÿ îáðàùåíèÿ â íóëü çíàìåíàòåëÿ â âûðàæåíèè (5.76), îïðåäåëÿþùåì ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ çàìêíóòîé öåïè.
Ïðèìåð À×Õ è Ô×Õ óñòîé÷èâîé öåïè ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ ïîêàçàí íà ðèñ. 5.26, à íåóñòîé÷èâîé — íà ðèñ. 5.27.  ïåðâîì ñëó÷àå íà ÷àñòîòå
ñîîòâåòñòâóþùåé
ìîäóëü
Âî âòîðîì ñëó÷àå
— ÷àñòîòà ïàðàçèòíîé ãåíåðàöèè. Íà ðèñ. 5.26 è 5.27 îòëîæåíû àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ
. Ïðè ó÷åòå çíàêà ðåàëüíûõ
íàêëîí Ô×Õ áóäåò îòðèöàòåëüíûì.
Ïðè ïîñòðîåíèè ýòèõ õàðàêòåðèñòèê ó÷òåíî, ÷òî ïðè
âåëè÷èíà
îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ïðè
ýòî îáóñëîâëåíî âëèÿíèåì ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ êîíäåíñàòîðîâ â êàíàëå
èëè
, à ïðè
— âëèÿíèåì øóíòèðóþùèõ åìêîñòåé (ìåæýëåêòðîäíûõ, ìîíòàæà è ò. ä.). Ïîëíîå èçìåíåíèå ôàçû ïðè èçìåíåíèè
îò 0 äî
çàâèñèò îò ÷èñëà çâåíüåâ â óñèëèòåëå è â öåïè îáðàòíîé ñâÿçè.
Äëÿ áîëåå ñëîæíûõ öåïåé, êîãäà íàáåã ôàçû â òðàêòå
ìîæåò áûòü áîëüøå
ïðèõîäèòñÿ ïðèáåãàòü ê êðèòåðèþ Íàéêâèñòà.
Ðèñ. 5.26. Àìïëèòóäíî- è ôàçî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêè óñòîé÷èâîãî óñèëèòåëÿ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ
Ðèñ. 5.27. Àìïëèòóäíî- è ôàçî-÷àñòîòíàÿ õàðàêòåðèñòèêè íåóñòîé÷èâîãî óñèëèòåëÿ