15.5. СИНТЕЗ ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ. ФИЛЬТР БАТТЕРВОРТА

Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ представлена на рис. 15.7. При аппроксимации АЧХ на оси абсцисс обычно откладывается безразмерная (нормированная) частота , где — частота среза, а по оси ординат — нормированное значение .

Аппроксимирующую функцию для идеальной АЧХ фильтра, показанной на рис. 15.7, задают в виде

(15.19)

причем накладывают условие, чтобы функция по модулю была минимальна в полосе и максимальна при .

Простейшей функцией, отвечающей этому требованию, является функция При этом

(15.20)

Графики функции (15.19) при нескольких значениях показаны на рис. 15.8. Определяемая выражением (15.20) аппроксимирующая функция получила название функции Баттерворта, а фильтры, синтезированные на основе этой функции, называются фильтрами Баттерворта. При частоте среза ) функции Баттерворта любого порядка равны 1/2, что соответствует ослаблению АЧХ (на 3 дБ). Аппроксимацию по Баттерворту часто называют максимально плоской.

При исчислении в децибелах (15.19) приводится к виду

Если безразмерную частоту представить в виде степени числа 2, т. е. , где — число октав, то

(15.21)

График зависимости К в децибелах от у показан на рис. 15.9. На частоте среза затухание равно 3 дБ независимо от порядка .

Вне полосы прозрачности фильтра, при выражение (15.21) определяет прямую линию

(15.22)

Таким образом, ослабление АЧХ равно на одну октаву (т. е. при изменении частоты вдвое, а у на одну единицу).

Для удовлетворительной аппроксимации прямоугольной характеристики (см. рис. 15.7) с помощью функции Баттерворта требуются относительно высокие значения .

Рис. 15.7. Амплитудно-частотная характеристика идеального фильтра нижних частот

Рис. 15.8. Аппроксимирующие функции Баттерворта

Рис. 15.9. Затухание в фильтре Баттерворта в зависимости от числа октав

Рис. 15.10. Расположение полюсов передаточной функции фильтра Баттерворта третьего и четвертого порядков

Так, если необходимо, чтобы при ослабление (затухание) АЧХ было не менее 40 дБ, то . В данном случае и, следовательно, , т. е. требуется

Следующим шагом после определения является нахождение полюсов передаточной функции. Для, этого выразим (15.20) в форме (15.17), для чего в (15.20) приравниваем

Рассматривая теперь поведение функции на -плоскости, находим полюсы как корни уравнения

или

(15.23)

С помощью соотношений где k — любое целое число, получаем для корня уравнения (15.23) следующее выражение:

(15.24)

причем число корней равно степени уравнения (15.23).

Модули всех полюсов равны единице, а аргументы

(15.25)

причем разность аргументов любых двух соседних корней равна . Следовательно, все полюсы функции лежат на окружности единичного радиуса и делят эту окружность на равные дуги . Аргумент первого полюса , а последнего .

Расположение полюсов на окружности единичного радиуса для фильтра Баттерворта третьего и четвертого порядков показано на рис. 15.10.

В соответствии с § 15.4 к передаточной функции синтезируемого фильтра относятся только полюсы, расположенные в левой полуплоскости.

Эти полюсы

(15.26)

Следует помнить, что формулы (15.23), (15,24) определяют значения нормированных переменных , т. е.

(15.27)

Все полюсы образуют комплексно-сопряженные пары, кроме одного полюса на вещественной оси при нечетном . Этому единственному полюсу соответствует Подставив по формуле (15.24) в общее выражение для передаточной функции

где — нули; — полюсы, получим передаточную функцию фильтра Баттерворта. Приведем эти выражения для .

При полюсы и по формулам (15.2) и (15.6) находим

(15.28)

При полюсы

Передаточная функция

(15.29)

При передаточная функция приводится к виду

(15.30)

Коэффициенты полиномов в знаменателе передаточной функции Баттерворта приводится во многих пособиях по расчету фильтров.

Последним этапом синтеза ФНЧ является подбор элементов для типовых звеньев второго порядка, а при нечетных n — дополнительно для одного звена первого порядка.