12.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦИФРОВЫХ СИГНАЛОВ

В § 2.17 было что спектральная плотность дискретизованного по времени сигнала имеет периодическую структуру с периодом на оси частот (рис. 12.7, б). Как и спектр исходного (континуального) сигнала (рис. 12.7, а), — сплошной спектр. Между тем для осуществления цифровой обработки требуется дискретизация сигнала не только во временной, но и в частотной области. Это означает, что сплошной спектр должен быть представлен совокупностью своих значений на дискретных частотах Подобный спектр, показанный на рис. 12.7, в, получается из сплошного спектра при периодическом повторении последовательности с периодом . В соответствии с § 2.7 интервал между соседними спектральными линиями

Обращаясь к выражению (2.124)

И подставляя , получаем следующее соотношение:

(при четном ).

Полученное выражение называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ).

Аргументы обычно обозначаются просто и k. Поэтому ДПФ можно записывать в форме

(12.13)

Рис. 12.7. Дискретизация сигнала времени и по спектру: а) континуальный сигнал и его спектр ; б) дискретизованный сигнал и его спектр (сплошной); в) периодическая последовательность с периодом N и ДПФ

Рис. 12.8. Нумерация спектральных коэффициентов при четном

Выражение (12.13) можно трактовать как алгоритм вычисления спектральных коэффициентов по заданным временным отсчетам .

При четном N и действительном

где величина, комплексно-сопряженная .

Действительно, подставляя в и учитывая, что N является периодом, получаем

что и требовалось доказать.

Из последнего равенства, в частности, следует, что при т. е. что — всегда действительное число. Это справедливо и Для .

На основе доказанных свойств ДПФ картину образования периодической структуры спектра можно пояснить построением, показанным на рис. 12.8 (для Амплитудный спектр исходного континуального сигнала представлен на рис. 12.8, а. Весь диапазон разбит на N равных интервалов Отсчетные точки на оси частот расположены в середине каждого из интервалов. На рис. 12.8, б представлено периодическое продолжение спектра. В точке — действительное число, в точке спектральная плотность , а по модулю и т. д. При начинается новый период последовательности Очевидно, что в пределах одного периода выражение (12.13) можно записывать в форме

(12.14)

Именно в такой форме в дальнейшем будет записываться ДПФ последовательности N временных отсчетов.

Введем понятие обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ). Используя дуальность прямого и обратного преобразований Фурье, можно, основываясь на выражении (12.14), записать

Для определения постоянного коэффициента С подставим в последнее выражение из (12.14);

При внутренняя сумма обращается в N, а при любом другом значении — в нуль (как сумма векторов, концы которых делят окружность единичного радиуса на равные дуги). Следовательно, в правой части остается одно слагаемое из чего вытекает равенство . Таким образом, ОДПФ принимает следующую форму:

(12.15)

Вне интервала ОДПФ определяет периодическое продолжение исходной последовательности , показанное на рис. 12.7, в (левая часть).

Итак, дискретизованному сигналу соответствует сплошной спектр с периодической структурой (рис. 12.7, б). Дискретизованному же спектру соответствует периодическая последовательность сигналов , повторяемых с периодом N (рис. 12.7, в).

Некоторые из свойств непрерывных преобразований Фурье, рассмотренных в § 2.8, нетрудно сформулировать также и для ДПФ.

1. Линейность преобразования. Спектр суммы (разности) дискретных сигналов равен сумме (разности) их спектров.

2. Сдвиг дискретного сигнала во времени. Повторяя рассуждения, приведшие к выражению (2.57), нетрудно показать, что если сигналу представленному совокупностью отсчетов соответствует ДПФ , то сигналу , где m — целое число, соответствует ДПФ . Иными словами, сдвиг последовательности отсчетов на m интервалов приводит лишь к изменению фазо-частотной характеристики ДПФ на величину (теорема запаздывания).

3. Теорема свертки. Если ДПФ соответствует дискретному сигналу , а ДПФ — сигналу то произведению соответствует сигнал (линейная свертка)

(12.16)

При получается так называемая круговая свертка. Вывод выражения (12.16) аналогичен выводу (2.64) [см. также (12.3)].