7.5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

Для выявления некоторых особенностей интегрирования случайной функции рассмотрим сначала прохождение стационарного случайного процесса через физическую интегрирующую RС-цепь (см. рис. 6.8).

Пусть на входе этой цепи начиная с момента действует случайная функция s(t) со спектром и корреляционной функцией . Считая процесс на выходе установившимся, можно определить с помощью выражений (7.2) и (7.3), подставив в них [см. (6.20)]

Таким образом,

Рассмотрим два частных случая: . В первом случае спектр не содержит слагаемого с -функцией [см. (4.35)-(4.37)]; полагая (белый шум), получаем корреляционную функцию

и дисперсию

Во втором случае (при ) когда в соответствии с (4.35) спектр

причем (как и в предыдущем случае), корреляционная функция и дисперсия будут

Из приведенных соотношений видно, что в установившемся режиме процесс на выходе физической интегрирующей цепи является стационарным, как и на входе.

Иначе обстоит дело при точном математическом интегрировании, которому соответствует нереализуемая передаточная функция

[см. (6.18)].

Условие интегрируемости случайного процесса при этом принимает следующий вид:

Если условие дифференцируемости случайной функции (7.27) накладывало требование достаточно быстрого убывания при , то при интегрировании аналогичное требование относится к поведению при .

Интегрирование стационарного процесса приводит к нестационарному процессу с неограниченно возрастающей дисперсией.

Если , то математическое ожидание процесса на выходе также неограниченно возрастает.

Следует иметь в виду, что идеальное интегрирующее устройство можно рассматривать как фильтр с бесконечно малой полосой пропускания. Процесс установления в таком фильтре длится бесконечно долго. Поэтому статистические характеристики интеграла случайного процесса существенно зависят от пределов, т. е. от длительности интегрирования.