12.15. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НА БАЗЕ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Обратимся к выражению (12.13) для ДПФ

и к рис. 12.40, иллюстрирующему преобразование исходного сигнала начиная с его дискретизации с шагом Т до выделения спектральных коэффициентов на выходе устройства, осуществляющего ДПФ. Это устройство обозначено на рис. 12.40 в виде «черного ящика» ДПФ (БПФ) без раскрытия его внутренней структуры.

Если шаг Т выбран достаточно малым для сохранения содержащейся в сигнале информации, то и совокупность N спектральных коэффициентов дает полную информацию о всем спектре континуального сигнала На рис. 12.40 функция обозначена штриховой линией в виде огибающей дискретного спектра в пределах центрального участка диапазона частот от до или, что то же, от до (соответственно от до см. нижнюю часть рис. 12.40).

С этой точки зрения устройство, осуществляющее ДПФ, можно трактовать как анализатор спектра, представляющий собой набор из N узкополосных фильтров, каждый из которых пропускает одну дискретную частоту .

Поскольку в образовании любого из спектральных коэффициентов участвуют все временные отсчеты , то информацию о спектре сигнала можно получить не ранее чем после ввода в устройство БПФ всех N отсчетов s(k). В этом смысле ДПФ не отличается от обычного преобразования Фурье, определяемого выражением

Нетрудно выявить АЧХ любого из N упомянутых выше фильтров, образующих анализатор спектра.

Рис. 12.40. К определению ДПФ сигнала s(t)

С этой целью зададим испытательный сигнал на входе анализатора в виде гармонического колебания с частотой , не превышающей что вытекает из теоремы отсчетов (см. § 2.16).

Для упрощения выкладок удобно исходить из комплексного испытательного сигнала, заданного в одной из двух форм (при — ):

(12.81)

Поддерживая неизменной амплитуду (1 В) входного сигнала, проследим за изменением спектрального коэффициента в зависимости от .

После дискретизации s(t) с шагом Т получим временные отсчеты вида

или

где

Рассмотрим сначала случай когда выражение (12.13) принимает форму

(12.83)

При отрицательных значениях коэффициенты равны нулю, поскольку спектральная плотность аналитического сигнала отлична от нуля только в области частот [см. § 3.10 и формулу (3.87)].

Новое обозначение имеет тот же смысл, что и , т. е. это спектральный коэффициент на фиксированной частоте , однако модуль и аргумент этого комплексного коэффициента зависят от частоты исходного сигнала , из которого взяты N временных отсчетов.

Введем обозначение и запишем (12.83) в форме

Рис. 12.41. Частотные характеристики устройства БПФ: а) при входном сигнале ; б) то же при в) то же при

Используя известные формулы для суммы косинусов или синусов кратных дуг

приведем (12.83) к виду

(12.84)

Ранее отмечалось, что информация о получается к моменту , когда входной сигнал принимает значение . Поэтому передаточную функцию частотного канала анализатора спектра логично трактовать как отношение

(12.85)

При задании испытательного сигнала в форме передаточная функция определяется выражением, комплексно-сопряженным по отношению к (12.85):

(12.86)

Графики передаточных функций, построенные по формулам (12.85), (12.86) для N = 8 (без учета фазовых множителей), представлены на рис. 12.41, а и б. Поскольку вне интервала характеристики повторяются, эти графики можно объединить, как это показано на рис. 12.41, в. (Представлены только главные лепестки).

Итак, на комплексный сигнал откликаются только частотные каналы анализатора с номерами , а на сигнал — только каналы с номерами . Это означает, что при анализе спектра комплексных сигналов с помощью БПФ можно определить не только абсолютное значение , но и знак частоты. Это важное свойство будет проиллюстровано в § 13.9 на примере квадратурной обработки сигналов.

При подаче на вход БПФ последовательности взятой из сигнала в виде постоянного напряжения на выходе БПФ спектральный коэффициент равен N, а все остальные равны нулю; при частоте исходного (комплексного) сигнала один единственный коэффициент , равен N, а все остальные равны нулю и т. д.

Соотношение между входными и выходными сигналами для БПФ-8 иллюстрируются рис. 12.42.

Рис. 12.42. Отклик анализатора спектра на комплексный сигнал при различных значениях : - действительная, - мнимая части сигналов

Рис. 12.43. Алгоритм вычисления свертки двух сигналов, основанный на использовании БПФ обозначает произведение

Основываясь на выражении (12.83), а также (12.85), (12.86), нетрудно найти отклик рассматриваемого устройства на испытательный сигнал . Представив этот сигнал в виде суммы двух комплексных сигналов

придем к выходному сигналу в виде двух комплексно-сопряженных спектральных коэффициентов и , расположенных симметрично относительно точки на оси .