13.7. ФИЛЬТРАЦИЯ ЗАДАННОГО СИГНАЛА ПРИ НЕБЕЛОМ ШУМЕ

Пусть на полностью известный сигнал линейно (аддитивно) накладывается шум с неравномерным энергетическим спектром (небелый шум). Требуется синтезировать фильтр, максимизирующий отношение сигнал-помеха. В отличие от ранее рассмотренных задач в данном случае передаточная функция должна брть согласована не только со спектром сигнала , но и с энергетическим спектром шума [22].

Наиболее простым способом отыскания требуемой передаточной функции является приведение заданного шума к белому. Для выяснения сути этого способа рассмотрим вспомогательную структурную схему, показанную на рис. 13.22. На этой схеме обозначает искомую передаточную функцию синтезируемого фильтра, являются передаточными функциями двух вспомогательных условных четырехполюсников, введение которых не оказывает никакого влияния на работу устройства, так как их результирующая передаточная функция равна единице.

Так как функцию можно выбирать произвольно, то модуль этой функции зададим в виде

(13.49)

где — постоянная величина.

Тогда на выходе первого четырехполюсника будет действовать шум с равномерным энергетическим спектром

Само собой разумеется, сигнал на выходе этого четырехполюсника отличается от входного сигнала, так как спектральная плотность

(13.50)

отличается от . Однако это обстоятельство несущественно; основной задачей является максимизация отношения сигнал-помеха на выходе всего устройства. Поэтому важно отношение энергии сигнала к энергетическому спектру шума, а форма сигнала при этом роли не играет.

Так как в рассматриваемом сечении схемы шум является белым, то для получения на выходе максимума отношения сигнал-помеха вся последующая часть устройства должна иметь передаточную функцию, отвечающую условию (13.8). Таким образом,

(13.51)

Рис. 13.22. Согласованная фильтрация заданного сигнала при небелом шуме

Левая часть этого выражения является результирующей передаточной функцией четырехполюсника, обведенного на рис. 13.22 штриховой линией, а правая часть - функцией, комплексно-сопряженной по отношению к спектру и дополненной множителем .

Из выражения (13.51) получаем

(13.52)

Но из (13.50) следует, что .

Таким образом,

Подставляя сюда соотношение (13.49), окончательно получаем

(13.53)

Нетрудно истолковать физический смысл этого соотношения.

Как и в случае белого шума, для максимизации отношения сигнал-помеха в фильтре должна осуществляться компенсация начальных фаз спектра входного сигнала S (со). Поэтому в правую часть (13.53) входит комплексносопряженная функция S (со). Однако модуль передаточной функции должен быть, во-первых, пропорционален модулю (как и в случае белого шума), и, во-вторых, обратно пропорционален энергетическому спектру шума на входе фильтра. Тем самым обеспечивается подчеркивание тех компонентов спектра сигнала, при которых Интенсивность шума меньше.