16.10. СВОЙСТВА КОМПЛЕКСНОГО КЕПСТРА

Одной из основных операций при определении кепстра является логарифмирование спектральной плотности входного сигнала. Рассмотрим этот вопрос сначала с позиции континуального сигнала , спектральная плотность которого

Логарифм этой функции следует записывать в общей форме

Предполагается, что ФЧХ спектра — непрерывная антисимметричная функция — главное значение аргумента, определяемое «по модулю , т. е. с отбрасыванием целого числа так что Неоднозначность можно устранить, основываясь на непрерывности функции и задании ее значения на какой-либо фиксированной частоте. Из-за нечетности функции целесообразно положить Продифференцируем по частоте:

(16.46)

Тогда функцию можно определить с помощью интеграла

(16.47)

имея в виду, что при и нормировке

Определенная таким образом функция является однозначной. Используем аналогичный способ устранения неоднозначности комплексного логарифма для дискретного сигнала.

Логарифмическая производная по аналогии с (16.46)

или

(16.48)

где штрих обозначает производную по z, a рассматривается как z-преобразование, которое можно записать в виде ряда

(16.49)

Заметим, что применив к (16.49) обратное -преобразование, получим , которое есть не что иное, как искомый кепстр (комплексный). Однако предварительно необходимо устранить неоднозначность комплексного логарифма . С этой целью продифференцируем (16.49):

и умножим

Входящий в это выражение ряд по отрицательным степеням z представляет собой z-преобразование последовательности поэтому с помощью (16.40) получаем

(16.50)

Найденное таким образом значение можно обозначать символом аналогичным обозначению кепстра мощности

Приведенные рассуждения справедливы при условии, что окружность единичного радиуса на z-плоскости входит в область сходимости функции . Заменив контур интегрирования С на |z| = 1, перепишем (16.50) в форме

(16.51)

Итак, комплексный кепстр найден без обращения к логарифму и, следовательно, однозначно.

При значение кепстра можно определить непосредственно из второй части выражений (16.41):

Поскольку является нечетной функцией частоты, получаем:

(16.51)

Наряду с описанным методом, основанным на логарифмической производной, широко распространен метод прямого вычисления комплексного логарифма с помощью БПФ. При этом используются соотношения

Главное значение аргумента вычисляется на ЭВМ непосредственно с помощью стандартной программы. Это главное значение фазы затем «разворачивается» так, чтобы получились отсчеты из непрерывной ФЧХ спектра сигнала. Непрерывная ФЧХ и отсчеты показаны на рис. 16.17, а, а главное значение — на рис. 16.17, б.

Рис. 16.17. Устранение неоднозначности фазы : а) непрерывная ФЧХ ; б) главная часть фазы; в) корректирующая последовательность

В пределах одного интервала набег фазы значительно меньше . На частотах где скачок ) превышает для восстановления истинного аргумента требуется добавить — соответственно при скачке

— я требуется добавить На рис. 16.17, б изображена корректирующая последовательность, добавляемая к последовательности

В заключение рассмотрим важный для практики случай входной последовательности , когда z-преобразование (одностороннее) определяется выражением

(16.52)

причем полюсы и нули функции расположены внутри единичной окружности, т. е. радиус сходимости ряда

Подобные последовательности называются минимально-фазовыми, по аналогии с системами, передаточная функция которых имеет особые точки (полюсы и нули) внутри круга (см. § 15.9).

Таким образом, модуль и аргумент z-преобразования минимально-фазовой последовательности однозначно связаны, а комплексный логарифм

обладает тем свойством, что его действительная и мнимая части образуют пару преобразований Гильберта. В этом случае комплексный кепстр можно вычислять по формуле

которая отличается от (16.20) только степенью в аргументе логарифма.

Из последнего выражения видно, что комплексный кепстр минимальнофазового сигнала равен кепстру мощности того же сигнала, и для его получения можно воспользоваться схемой, представленной на рис. 16.11.

Простейшим примером минимально-фазового сигнала является с -преобразованием имеющим нуль и полюс [см. (12.22)].

Сигнал рассмотренный в § 16.7, является другим примером минимально-фазового сигнала.