13.3. ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА. ФИЗИЧЕСКАЯ ОСУЩЕСТВИМОСТЬ

Тот факт, что коэффициент передачи согласованного фильтра является функцией, сопряженной по отношению к спектру сигнала , указывает на существование тесной связи также и между временными характеристиками фильтра и сигнала. Для выявления этой связи найдем импульсную характеристику согласованного фильтра.

Применяя выражение (5.39) и учитывая формулу (13.8), получаем

(13.13)

Учитывая, что и переходя к новой переменной переписываем выражение (13.13) следующим образом:

(13.14)

Правая часть этого выражения есть не что иное, как функция . Следовательно, если задан сигнал , то импульсная характеристика согласованного (оптимального) фильтра определяется как функция

(13.15)

т. е. импульсная характеристика по своей форме должна совпадать с зеркальным отражением сигнала.

Построение графика функции показано на рис. 13.4 Кривая является зеркальным отражением заданного сигнала с осью ординат в качестве оси симметрии. Функция же , сдвинутая относительно на время вправо, также зеркальна по отношению к исходному сигналу , но с осью симметрии, проходящей через точку на оси абсцисс. На рис. 13.5 показано аналогичное построение для случая, когда отсчет времени ведется от начала сигнала.

Поскольку импульсная характеристика физической цепи не может начинаться при [отклик фильтра не может опережать воздействие ], то очевидно, что задержка фигурирующая в выражении (13.8), не может быть меньше

Рис. 13.4. Построение функции, зеркальной по отношению к сигналу

Рис. 13.5. Построение импульсной характеристики согласованного фильтра

Только при может быть использована вся энергия сигнала для создания наибольшего возможного пика в точке Ясно, что увеличение сверх не влияет на пиковое значение выходного сигнала, а просто сдвигает его вправо (в сторону запаздывания).

Кроме того, условие накладывает на сигнале требование, чтобы длительность его была конечна, только в этом случае при конечной задержке можно реализовать пик сигнала. Иными словами, применение согласованной фильтрации для максимизации отношения сигнал-помеха в описанном выше смысле возможно при импульсном сигнале (а также ограниченной по продолжительности пачке импульсов).

Обратимся к вопросу о физической осуществимости согласованного фильтра. Пусть задан произвольный сигнал , которому соответствуют импульсная характеристика согласованного фильтра и преобразование Фурье от этой функции определяемые соответственно выражениями (13.15) и (13.18). Возникает вопрос, при каких условиях может являться передаточной функцией физически осуществимого четырехполюсника.

Ответ на этот вопрос дает критерий осуществимости Пэли — Винера, согласно которому неравенство 1

(13.16)

является необходимым условием, чтобы положительная функция могла быть модулем передаточной функции электрической цепи.

Хотя критерий Пэли — Винера оставляет открытым вопрос о структуре цепи, из него вытекают некоторые полезные следствия о свойствах электрических цепей.

В частности, из него следует, что АЧХ должна быть интегрируемой в квадрате, т. е. Только при этом условии числитель растет с увеличением медленнее, чем знаменатель и условие (13.16) выполняется. Например, передаточная функция реализуема, так как растет медленнее, чем Гауссовский фильтр с передаточной функцией не реализуется, так как растет с увеличением со с такой же скоростью, что и знаменатель

Далее, АЧХ может быть равной нулю только на некоторых дискретных частотах, но не в конечной или бесконечно большой полосе частот. Действительно, если в полосе частот функция , то обращается в бесконечность и интеграл в (13.15) расходится. Аналогично рассуждая, можно прийти к выводу, что фильтры с П-образной АЧХ нереализуемы, хотя практически можно получить характеристики, близкие к идеальным.

Так как в рассматриваемой задаче синтеза согласованного фильтра задано равенство [см. (13.11)], то условие (13.16) можно записать в виде

и все приведенные выше ограничения на можно распространить на модуль спектральной плотности сигнала .