4.7. КОМПЛЕКСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Пусть задан действительный стационарный случайный процесс со спектром . В теории случайных процессов доказывается, что если дифференцируем в среднеквадратическом смысле так, что выполняется условие то к можно применить интегральное преобразование

причем интеграл также понимается в среднеквадратическом смысле.

Определенный таким образом случайный (стационарный) процесс по отношению к является сопряженным (по Гильберту), а процесс

является комплексным случайным процессом.

Применение понятия комплексного случайного процесса особенно полезно при рассмотрении узкополосных процессов. Если можно представить в виде , где — случайные функции, то, как и для детерминированного аналитического сигнала (см. § 3.10), и

Поясним физический смысл этого понятия на модели (рис. 4.19), аналогичной использованной в гл. 3 модели формирования детерминированного аналитического сигнала (см. рис. 3.29).

Пусть узкополосный стационарный шум со спектром поступает на выход по двум каналам: прямому и через фазосдвигающее звено с характеристикой (в полосе шума). Различие между процессами обусловлено лишь влиянием фазосдвигающего звена. Амплитудно-частотная характеристика этого звена равна единице, следовательно, спектры мощности процессов одинаковы: То же относится к корреляционным функциям

и к дисперсиям

(Имеются в виду процессы с нулевым средним.)

Найдем теперь спектральную и корреляционную функции совокупности процессов

С этой целью выделим одну из реализаций процесса и обозначим через спектральную плотность отрезка реализации с конечной длительностью Т (см. § 4.3).

Рис. 4.19. Формирование случайного, аналитического процесса

Этот же отрезок k-й. реализации на выходе канала со звеном будет иметь спектральную плотность при при

Рассматривая совокупность отрезков как сумму квадратурных колебаний

можно определить спектральную плотность отрезка следующим образом:

На основании этих равенств можно утверждать что является по отношению к ) функцией, сопряженной по Гильберту (см. § 3.9) и, следовательно, при определении спектра и корреляционной функции аналитического случайного процесса (4.84) исходить из выражений, аналогичных (3.87) и (3.95), выведенных в § 3.10 для детерминированного аналитического сигнала

Переходя в выражении (3.87) от спектральной плотности колебания (напряжение, ток) к спектральной плотности средней мощности исходного колебания х(t), получаем

Применяя теорему Винера — Хинчина [см. (4.39)], находим корреляционную функцию аналитического случайного процесса

Это выражение совершенно аналогично выражению (3.95). Как и для детерминированного аналитического сигнала, — комплексная корреляционная функция. Действительная часть этой функии совпадает с удвоенной корреляционной функцией исходного процесса , а мнимая часть учитывает взаимную корреляцию процессов .

Комплексный характер корреляционной функции обусловлен тем, что спектр несимметричен относительно оси , т. е. существует только в области

При мнимая часть в соотношении (4.87) обращается в нуль, что означает некоррелированность процессов в один и тот же момент

По аналогии с выражениями (3.96) можно написать

где

Характер взаимной корреляционной функции определяется формой энергетического спектра процесса .

При и, следовательно, средняя мощность аналитического случайного процесса

Очевидно также, что средние мощности процессов одинаковы:

Проиллюстрируем свойства корреляционной функции входящей в выражение (4.88), на примере, когда исходный узкополосный аналитический процесс обладает спектром прямоугольной формы при центральной частоте и полосе Подобный спектр показан на рис. 4.9 (двойная штриховка).

Приравнивая в и интегрируя в пределах от до получаем

Здесь через обозначена дисперсия исходного процесса

В данном примере огибающая взаимной корреляционной функции совпадает с огибающей корреляционной функции [см. (4.44)]. Различие между двумя этими функциями заключается в фазах высокочастотного заполнения .

При — процессы в один и тот же момент времени некоррелированны. Однако при функция . При эта функция достигает максимального значения, близкого к