13.5. ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ СОГЛАСОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ

1. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ВИДЕОИМПУЛЬС

Зададим сигнал следующей функцией времени:

(13.27)

Спектральная плотность такого сигнала, как известно,

(13.28)

По формуле (13.8), в которой приравниваем длительности импульса находим передаточную функцию согласованного фильтра

(13.29)

Рассматриваемый пример характерен тем, что отличается от спектра сигнала лишь постоянным коэффициентом. Ясно, что и импульсная характеристика фильтра совпадает по форме с самим сигналом действительно, из соотношения (13.15) следует, что

(13.30)

График (рис. 13.6) по форме полностью совпадает с входным импульсом

Дальнейшая задача сводится к отысканию структуры физической цепи, обладающей импульсной характеристикой, изображенной на рис. 13.6, и передаточной функцией, определяемой формулой (13.29).

Простейший сигнал (13.27) удобен для иллюстрации основных положений синтеза четырехполюсника по заданной импульсной характеристике или, что то же, по комплексной передаточной функции являющейся преобразованием Фурье от

Прежде всего отметим, что интеграл

т. е. интеграл сходится, так что в рассматриваемом примере функция не противоречит критерию Пэли — Винера (13.16).

Показанную на рис. 13.7 структурную схему фильтра можно наметить непосредственно по передаточной функции (13.29). Входящий в эту функцию множитель реализуется интегрирующим звеном, а второй множитель — устройством вычитания, к которому сигнал попадает без задержки и с задержкой Передаточная функция идеальной линии задержки (без потерь) равна .

Рис. 13.6. Импульсная характеристика фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом

Рис. 13.7. Структурная схема фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом

Рис. 13.8. Формирование импульсной характеристики в идеальном (а) и физическом (б) фильтрах

Объяснить работу этой схемы можно также на основании временных представлений: при подаче на вход единичного импульса ЭДС [дельта-функции ] на выходе идеального интегратора появляется скачок напряжения в момент На выходе устройства получается напряжение в виде разности двух единичных скачков, сдвинутых относительно друг друга на время (рис. 13.8, а).

Реализация изображенного на рис. 13.7 устройства, которое обеспечивало бы точное интегрирование, а также задержку входного сигнала без искажения его формы (в пределах бесконечно широкого спектра единичного импульса), практически неосуществима. Можно, однако, получить достаточно хорошее приближение при использовании реальной интегрирующей RC-цепи, если обеспечить постоянную времени этой цепи, достаточно большую по сравнению с . При этом на выходе вычитающего устройства импульс напряжения, являющийся разностью двух экспонент (рис. 13.8, б), может быть реализован достаточно близким к прямоугольному.

Найдем напряжение на выходе фильтра. Применяя формулу (13.18) и учитывая, что корреляционная функция прямоугольного импульса имеет вид равнобедренного треугольника с основанием и высотой, равной энергии импульса , получаем

(13.31)

Максимальное значение выходного сигнала, равное достигается в момент т. е. к концу действия входного сигнала (рис. 13.9).

Отношение сигнал-помеха в соответствии с (13.9)

(13.32)

Определим теперь пик сжатого сигнала по формуле (13.26). В данном примере , а

Следовательно,

Таким образом, .

Как будет видно из дальнейших примеров, пик выходного сигнала намного превышает амплитуду входного при согласованной фильтрации сложных сигналов (с большой базой).

2. РАДИОИМПУЛЬС С ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫМ ЗАПОЛНЕНИЕМ

Рассмотрим сигнал, изображенный на рис. 13.10, а. Огибающая этого сигнала имеет прямоугольную форму, а частота заполнения нарастает по линейному закону (рис. 13.10, б) со скоростью

(13.33)

где — длительность импульса; — полное изменение частоты внутри импульса; — центральная частота заполнения. В дальнейшем исходим из условия, что . Таким образом,

(13.34)

а мгновенное значение сигнала в интервале от до определяется выражением

(13.35)

Спектральная плотность подобного импульса была определена в гл. 3. Было установлено, что модуль и фаза спектральной плотности определяются соответственно формулами (3.50) и (3.51).

Эти выражения могут быть в принципе положены в основу синтезирования фильтра, но создание четырехполюсника, точно реализующего столь сложные АЧХ и ФЧХ, представляет собой задачу трудную или даже вообще невыполнимую. Поэтому приходится прибегать к различным приемам аппроксимации АЧХ и ФЧХ. Первым этапом на этом пути является допущение о том, что огибающая спектра сигнала имеет прямоугольную форму, а ФЧХ — форму квадратичной параболы.

Рис. 13.9. Сигнал на выходе фильтра, согласованного с прямоугольным импульсом

Рис. 13.10. ЛЧМ импульс (а) и закон изменения мгновенной частоты (б)

Таким образом, точные выражения заменяются приближенным [см. пояснения к формулам (3.50) и (3.51)]

(13.36)

В § 3.7 было показано, что такое приближение тем лучше, чем больше (постоянный фазовый сдвиг опущен).

При отсчете времени t от начала импульса фазовый спектр сигнала запишем в виде

(13.37)

Для сигнала с подобными амплитудными и фазовыми спектрами согласованный фильтр должен иметь прямоугольную АЧХ и ФЧХ, определяемую выражением

(13.38)

Строго прямоугольная АЧХ также неосуществима. Поэтому дальнейшее упрощение заключается в замене прямоугольной амплитудной характеристики характеристикой реализуемого полосового фильтра. После этого фильтр может быть осуществлен в виде сочетания двух линейных четырехполюсников: полосового резонансного фильтра (обычный усилитель промежуточной частоты приемника) и специального четырехполюсника с равномерной АЧХ и квадратичной ФЧХ.

Заметим, что фазовой характеристике (13.38) соответствует групповое время запаздывания узкополосного сигнала

В качестве устройства с требуемой ФЧХ может быть использована любая цепь, у которой задержка в некотором частотном диапазоне (вблизи частоты ) линейно зависит от частоты. Такими свойствами обладают, в частности, дисперсионные ультразвуковые линии задержки.

Определим сигнал на выходе фильтра. При этом будем иметь в виду не аппроксимированный, а точно согласованный фильтр, передаточная функция которого отвечает условию (13.8).

Основываясь на соотношении (13.18) воспользуемся выражением (3.106) для корреляционной функции входного сигнала, введенным в § 3.11:

Заменяя в этом выражении на и ограничиваясь рассмотрением участка вблизи точки , т. е. в окрестности точки, где выходной сигнал достигает пикового значения, можем считать .

Тогда

Учитывая, что [см. (3.38)], последнее выражение перепишем в несколько иной форме

Подставляя полученное выражение в (13.18), находим напряжение на выходе согласованного фильтра

(13.40)

где огибающая

Заметим, что частота заполнения не модулирована и равна , т. е. средней частоте входного сигнала.

Поясним этот важный результат. ЛЧМ импульсу, определяемому выражением (13.25), при соответствует амплитудный спектр прямоугольной формы и фазовый спектр в виде квадратичной параболы. После прохождения через согласованный фильтр амплитудный спектр остается прямоугольным, а фазовый спектр принимает вид линейной зависимости в пределах . Тем самым эффект ЧМ снимается и спектр приобретает вид двух лепестков прямоугольной формы (одного в области и другого в области , симметричных относительно частот линейным фазовым спектром. В соответствии с теоремой о смещении спектра (см. п. 3 § 2.8) подобная структура спектра соответствует функции времени вида , где — медленная функция, имеющая смысл огибающей амплитуд сжатого сигнала. Спектральная плотность функции получается сдвигом упомянутых двух лепестков на к нулевой частоте и в рассматриваемом примере (ЛЧМ импульс) имеет форму прямоугольника с основанием, равным с центром в точке . По аналогии с п. 4 § 2.10 (см. рис. 2.19), заменив и придем к в виде функции .

Очевидно,что отсутствие модуляции высокочастотного заполнения сигнала на выходе согласованного фильтра имеет место при любом законе ЧМ входного сигнала. При определении же огибающей выходного сигнала необходимо учитывать изменение формы амплитудного спектра сигнала в фильтре (при непрямоугольной форме на входе фильтра).

Определим пик сжатого сигнала при нормировании энергии выходного сигнала к энергии сигнала на входе [см. (13.26)], в данном случае

Поэтому

Рис. 13.11. ЛЧМ импульс на входе согласованного фильтра (а) и сжатый сигнал на выходе (б)

Подставив и отбросив интеграл с подынтегральной функцией, содержащей множитель , а также учитывая равенство , получаем окончательный результат

Таким образом, выражение (13.41) можно переписать в форме

(13.42)

Сигналы на входе и выходе фильтра изображены на рис. 13.11 (при Наибольшая амплитуда выходного сигнала (в момент ) раз больше, чем на входе, а длительность основного лепестка, отсчитываемого между двумя нулями, равна . Длительность выходного импульса на уровне от максимального значения .

Таким образом, отношение

(13.43)

близкое по значению к параметру модуляции можно назвать коэффициентом сжатия ЧМ импульса в согласованном фильтре.

Из выражения (13.42) видно, что компенсация фаз спектра сигнала — основная операция в согласованном фильтре — приводит к сжатию импульса в раз при одновременном увеличении пика сигнала в раз (при нормировке энергий входного и выходного сигналов).

Это весьма ценно для практики, так как позволяет удлинять импульс, генерируемый передатчиком, для увеличения энергии сигнала без потери разрешающей способности, которая определяется длительностью импульса на выходе согласованного фильтра. Техническое преимущество этого метода проявляется особенно в тех случаях, когда увеличение амплитуды импульсов в передатчике ограничивается импульсной мощностью электронных приборов, используемых для генерации колебаний. Значительно проще увеличивать энергию сигнала удлинением импульсов при одновременном наложении ЧМ. При этом параметр модуляции должен расти пропорционально длительности излучаемого сигнала (при заданной длительности импульса на выходе согласованного фильтра). Иными словами, девиация частоты должна оставаться неизменной, а скорость изменения частоты должна быть обратно пропорциональна (см. (13.39)).

3. ПАЧКА ОДИНАКОВЫХ ИМПУЛЬСОВ

Рассмотрим сигнал в виде группы из одинаковых видеоимпульсов (рис. 13.12). Интервалы между импульсами могут быть неодинаковыми. Спектр такого сигнала

(13.44)

где — спектр первого имплульса, начинающегося в момент — спектр второго импульса, начинающегося в момент и т. д.

Так как полная длительность изображенного на рис. 13.12 сигнала равна то в соответствии с выражением (13.8) согласованный со спектром фильтр должен иметь коэффициент передачи

(13.45)

В этом выражении представляет собой коэффициент передачи фильтра, согласованного с одиночным импульсом.

Основываясь на выражении (13.45), нетрудно наметить схему фильтра, согласованного с сигналом, изображенным на рис. 13.12. Подобный фильтр должен содержать звено с передаточной функцией обеспечивающее оптимальную внутриимпульсную обработку сигнала, и набор линий задержек. Величины этих задержек должны нарастать в порядке, обратном расстановке импульсов в пачке на входе фильтра. Один из возможных вариантов такого устройства показан на рис. 13.13, а.

Рис. 13.12. Сигнал в виде пачки импульсов

Рис. 13.13. Согласованная фильтрация пачки импульсов (к рис. 13.12)

Максимальный импульс на выходе сумматора получается, когда первый импульс входной последовательности, прошедший через задержку суммируется со вторым импульсом, прошедшим через задержку с третьим импульсом, задержанным на , и так далее вплоть до последнего импульса проходящего через рассматриваемое устройство без дополнительной задержки. Вместо набора из линий задержки конструктивно проще и выгоднее применять одну линию задержки с отводами (рис. 13.13, б). Отводы располагаются таким образом, чтобы соответствующие им задержки нарастали в том же порядке, что и на рис. 13.13, а.

Построение согласованного фильтра значительно упрощается, когда входной сигнал представляет собой последовательность равноотстоящих одинаковых импульсов, т. е. когда

Для этого случая выражение (13.45) можно записать так:

(13.46)

При достаточно большом числе выражение в квадратных скобках можно свернуть по формуле геометрической прогрессии

(13.47)

Структура выражения (13.46) указывает на возможность осуществления согласованного фильтра в виде каскадного соединения двух четырехполюсников: одного с передаточной функцией , как и в схеме на рис. 13,13, а, согласованного с одиночным импульсом, и другого в виде цепи с обратной связью, содержащей всего лишь одну линию задержки Т (рис. 13.14). Передаточная функция подобной цепи (на рис. 13.14 обведенной штриховой линией) определяется выражением

(13.48)

Символом обозначен безынерционный четырехполюсник, учитывающий затухание в линии задержки (достигающее десятков децибел) и вклю чающий в себя усилитель, компенсирующий это затухание.

Рис. 13.14. Гребенчатый фильтр

Рис. 13.15. Амплитудно-частотная- характеристика гребенчатого фильтра

Для устойчивости цепи коэффициент должен быть меньше единицы. Сама линия задержки при этом может рассматриваться как идеальная с передаточной функцией

При частотах, отвечающих условию обратная связь отрицательна и . При частотах обратная связь положительна и

Амплитудно-частотная характеристика цепи приобретает вид, показанный на рис. 13.15. Фильтры с подобной характеристикой называются гребенчатыми . Они эффективны для выделения сигналов в виде периодической последовательности импульсов на фоне белого шума. Чем больше число импульсов в пачке и чем ближе к единице, тем лучше приближение цепи к согласованному фильтру.

Импульсная характеристика фильтра

Коэффициенты при единичных импульсах, возникающих на выходе четырехполюсника через интервалы Т, убывают по закону, близкому к экспоненте. Таким образом, импульсная характеристика фильтра имеет вид, показанный на рис. 13.16.

Все приведенные выше рассуждения можно распространить и на фильтрацию последовательности радиоимпульсов. Необходимо лишь под подразумевать коэффициент передачи фильтра, согласованного с одиночным радиоимпульсом. Кроме того, для обеспечения сложения задержанных радиоимпульсов в фазе требуется введение корректирующих фазовых сдвигов (при ).

Рис. 13.16. Импульсная характеристика гребенчатого фильтра

Рис. 13.17. Формирование сигнала, сопряженного с заданным фильтром