2.16. ТЕОРЕМА ОТСЧЕТОВ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Иногда сигнал необходимо представить с помощью частотных выборок спектральной функции а не временных выборок функции . Для функции можно составить ряд, аналогичный выражению (2.114). Для этого базисная функция [см. (2.115)] должна быть заменена функцией , которая получена из (2.115) заменой t на полуширины спектра на полудлительность сигнала на .

Таким образом,

Расстановка частотных выборок иллюстрируется рис. 2.33.

Если ранее временнбй интервал между двумя соседними выборками не должен был превышать , то теперь частотный интервал не должен превышать . При ширине спектра охватывающей область частот число выборок равно , как и при представлении сигнала рядом (2.118).

В общем случае выборки являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра — действительная и мнимая части (или модуль и аргумент). Таким образом, общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки действительные числа. Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что являются комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую. Таким образом, спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, взятых трлько в области положительных частот, и числом независимых параметров или степеней свободы сигнала как и при представлении сигнала во временной области.

К приведенному выше определению максимального допустимого интервала основанному на замене в (2.114), можно прийти и с помощью строгих рассуждений. Полагая, как и в § 2.15, заданными длительность и спектр сигнала представляем этот сигнал в виде ряда Фурье (вместо интеграла Фурье)

где — произвольный отрезок оси t, включающий в себя отрезок

В соответствии с (2.22) и (2.56) коэффициенты

Рис. 2.33. Дискретизация спектра сигнала по Котельникову

Как видим, коэффициенты будучи умноженными на есть не что иное, как значения спектральной плотности на дискретных частотах т. е. отсчеты фигурирующие в выражении (2.119). Очевидно, что максимально допустимый интервал между отсчетами на оси частот соответствует условию