16.11. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА КЕПСТРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

По аналогии с теоремами о спектрах, изложенными в § 2.8, рассмотрим связь между некоторыми преобразованиями исходного сигнала и преобразованиями кепстра.

Установление этих связей представляет интерес в основном применительно к комплексным кепстрам.

1. СДВИГ СИГНАЛА ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ

Пусть исходному сигналу со спектральной плотностью соответствует кепстр При задержке сигнала на получим функцию времени со спектральной плотностью , логарифм которой

Второму слагаемому соответствует кепстр исходного сигнала , а первое слагаемое в соответствии с (16.39) приводит к следующему кепстру:

(16.53)

Учитывая, что функции соответствует спектральная плотность, равная единице, множитель можно рассматривать как спектральную плотность функции . Тогда (16.53) определяет функцию — , и, следовательно,

(16.54)

Таким образом, кепстр сигнала

(16.55)

Из сопоставления (16.55) и (16.54) вытекает, что кепстр смещенной дельта-функции равен — . Оперирование производной дельта-функции затруднительно, однако при обработке сигнала можно исключить участок кепстрального времени в окрестности точки

Рассмотрим соотношение между для цифрового сигнала

Основываясь на методе z-преобразования, получаем

Применяя к этому выражению обратное z-преобразование по формуле (12.28), получаем

где — кепстр сигнала , а

При интеграл обращается в нуль, так что

при

и

Таким образом, при

Как видим, в случае цифрового сигнала кепстр задержанного сигнала отличается от лишь знакопеременным сигналом убывающим с возрастанием ; в точке и дельта-функция не возникает.

2. ИЗМЕНЕНИЕ МАСШТАБА ВРЕМЕНИ

Пусть

В соответствии с § 2.8, п. 2

Кепстр сигнала

Изменение масштаба времени t приводит к такому же изменению масштаба кепстрального времени q; кроме того, возникает функция

При дискретизованном сигнале изменение масштаба времени означает изменение шага Т при неизменном числе отсчетов N (что необходимо для сохранения формы сигнала).

Положим и запишем выражение (12.20) для z-преобразования сигнала

При сжатии или растяжении исходного сигнала отсчеты функции сохраняют свое значение (при N = const).

Таким образом,

и кепстр

Переход от шага дискретизации не изменяет структуры кепстра. Изменяется лишь диапазон частот , соответствующий одному обходу окружности единичного радиуса на -плоскости (от до ). Соответственно изменяется и масштаб кепстрального времени; интервалы между отсчетами кепстра на оси q будут .

3. СМЕЩЕНИЕ СПЕКТРА СИГНАЛА

Применим преобразование Фурье К произведению

где — «медленная» (модулирующая) функция со спектральной плотностью ; — несущее колебание.

Повторяя рассуждения, приведенные в § 2.7, п. 3, придем к спектру

Тогда

и кепстр сигнала

Перейдя к новой переменной , получим

где — кепстр исходного сигнала

Итак, для определения кепстра модулированного колебания достаточно умножить кепстр модулирующей функции на . В этом смысле эффект модуляции — домножение сигнала на несущее колебание проявляется одинаково для а

4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИГНАЛА

Сигналу соответствует спектральная плотность и логарифм

Поэтому

При дифференцировании сигнала к кепстру добавляется кепстр который запишем в форме

Спектральной плотности соответствует оригинал — , где — постоянная Эйлера; и — единичный скачок в момент , а произведению - соответствует производная

Таким образом, окончательно

При интегрировании сигнала получается аналогичный результат, изменяется лишь знак перед

Отметим, что дополнительный кепстр, обусловленный дифференцированием или интегрированием, не зависит от исходного сигнала.

5. СЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ

По заданным сигналам и их кепстрам невозможно составить общее выражение для кепстра суммы . Необходимо предварительно вычислить результирующую спектральную плотность . Исключением является случай, когда полностью совпадают по форме и отличаются лишь по величине и по положению во времени, благодаря чему их сумма может быть представлена в виде свертки. Этот случай был рассмотрен в § 16.6.

6. ПРОИЗВЕДЕНИЕ СИГНАЛОВ

Для нахождения кепстра сигнала требуется знание свертки их спектров , поэтому установить прямую связь между и кепстром не представляется возможным.