2.4. СПЕКТРЫ ПРОСТЕЙШИХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ

СИГНАЛОВ

Рассмотрим несколько примеров периодических колебаний, часто используемых в различных радиотехнических устройствах.

1. ПРЯМОУГОЛЬНОЕ КОЛЕБАНИЕ (РИС. 2.3)

Подобное колебание, часто называемое меандром, находит особенно широкое применение в измерительной технике.

При выборе начала отсчета времени в соответствии с рис. 2.3, а функция является нечетной, а рис. 2.3, б — четной. Применяя формулы (2.24), находим для нечетной функции (рис. 2.3, а) при s(t)=e(t):

Рис. 2.3. Периодическое колебание прямоугольной формы (меандр)

Рис. 2.4. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) ряда Фурье колебания, показанного на рис. 2.3

Учитывая, что , получаем

Начальные фазы в соответствии с (2.27) равны для всех гармоник.

Запишем ряд Фурье в тригонометрической форме

Спектр коэффициентов комплексного ряда Фурье показан на рис. 2.4, а, а тригонометрического ряда — на рис. 2.4, б (при ).

При отсчете времени от середины импульса (рис. 2.3, б) функция является четной относительно t и для нее

Графики 1-й гармоник и их суммы изображены на рис. 2.5, а. На рис. 2.5, б эта сумма дополнена 5-й гармоникой, а на рис. 2.5, в — 7-й.

С увеличением числа суммируемых гармоник сумма ряда приближается к функции всюду, кроме точек разрыва функции, где образуется выброс. При величина этого выброса равна , т. е. сумма ряда отличается от заданной функции на 18%. Этот дефект сходимости в математике получил название явления Гиббса.

Рис. 2.5. Суммирование 1-й и 3-й гармоник (а), 1, 3 и 5-й гармоник (б), 1, 3, 5 и 7-й гармоник (в) колебания, показанного на рис. 2.3

Рис. 2.6 Периодическое колебание пилообразной формы

Рис. 2.7. Сумма первых пяти гармоник колебания, показанного на рис. 2.6

Несмотря на то, что в рассматриваемом случае ряд Фурье не сходится к разлагаемой функции в точках ее разрыва, ряд сходится в среднем, поскольку при выбросы являются бесконечно узкими и не вносят никакого вклада в интеграл (2.13).

2. ПИЛООБРАЗНОЕ КОЛЕБАНИЕ (РИС. 2.6)

С подобными функциями часто приходится иметь дело в устройствах для развертки изображения в осциллографах. Так как эта функция является нечетной, ряд Фурье для нее содержит только синусоидальные члены. С помощью формул (2.24)-(2.31) нетрудно определить коэффициенты ряда Фурье. Опуская эти выкладки, напишем окончательное выражение для ряда

Как видим, амплитуды гармоник убывают по закону , где . На рис. 2.7 показан график суммы первых пяти гармоник (в увеличенном масштабе).

3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ (РИС. 2.8)

Ряд Фурье для этой функции имеет следующий вид:

(2.36)

Рис. 2.8. Сумма трех первых гармоник периодической функции

Рис. 2.9. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов с большой скважностью

На рис. 2.8 изображена сумма первых трех членов этого ряда. В данном случае отметим более быстрое убывание амплитуд гармоник, чем в предыдущих примерах. Это объясняется отсутствием разрывов (скачков) в функции.

4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ УНИПОЛЯРНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ИМПУЛЬСОВ (РИС 2.9)

Применяя формулу (2.32), находим среднее значение (постоянную составляющую)

и коэффициент гармоники

Так как функция четная, . Таким образом,

Величина называется скважностью импульсной последовательности. При больших значениях N спектр сигнала содержит очень большое число медлённо убывающих по амплитуде гармоник (рис. 2.10). Расстояние между спектральными линиями очень мало, а амплитуды соседних гармоник близки по величине. Это наглядно вытекает из формулы (2.38), которую в данном случае удобно представить в несколько измененном виде

Рис. 2.10. Спектр импульсной последовательности, показанной на рис. 2.9

При малых значениях можно считать

Постоянная составляющая, равная вдвое меньше амплитуды 1-й гармоники. При построении спектра коэффициентов величина приближенно равнялась бы .