2.13. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

Одним из условий применимости преобразования Фурье к функции s(t) является ее абсолютная интегрируемость:

Это условие существенно ограничивает класс сигналов, для которых существует спектр Фурье, выражаемый обычными функциями. Например, такие важные для теории сигналов и цепей функции, как гармоническое колебание, заданное при или включаемое в некоторый момент времени, единичный скачок, и некоторые другие функции не отвечают условию (2.95).

Рассмотренные в предыдущем параграфе свойства дельта-функции позволяют устранить это препятствие.

Обратимся, например, к гармоническому сигналу . Не обращая внимания на то, что такой сигнал не является абсолютно интегрируемым, выражение для спектральной плотности запишем в форме (2.48):

На основании формулы (2.94) получаем

Эта функция равна нулю для всех частот, кроме и при которых обращается в бесконечность. Как и следовало ожидать, гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответствует бесконечно большая спектральная плотность при дискретных частотах .

Рис. 2.25. Импульсный и монохроматический сигналы (а) и их спектральные плотности (б)

В частности, приравнивая нулю, получаем спектральную плотность сигнала, представляющего собой постоянное напряжение (ток) :

Распространив соотношение (2.96) на все гармоники любого периодического сигнала

можно ввести понятие спектральной плотности периодического сигнала в виде суммы дельта-функций

Такой подход оказывается полезным при рассмотрении смеси импульсного и гармонического сигналов.

Пусть, например, отыскивается спектр суммы двух сигналов: импульсного и гармонического (рис: 2.25, а). Применяя выражение (2.48) к находим обычную спектральную плотность S (со), определяющую сплошной спектр (на рис. 2.25, б заштрихован). Применение же (2.48) к дает спектр, определяемый выражением (2.96). На рис. 2.25, б этот спектр изображается двумя спектральными линиями, уходящими в бесконечность.

Отыщем теперь спектральную плотность единичного скачка. Эту простейшую разрывную функцию представим в виде суммы

где — сигнум-функция, равная единице, знак которой изменяется при переходе переменной t через нуль.

Постоянной составляющей 1/2 соответствует спектральная плотность [см. (2.97)] , а спектральную плотность нечетной функции нетрудно найти с помощью правила, сформулированного в предыдущем параграфе. Продифференцировав функцию , получим производную, которая равна нулю на всей оси времени, кроме момента , где она равна . Спектральная плотность равна единице, следовательно, искомая спектральная плотность сигнум-функции будет .

В результате получаем спектральную плотность единичного скачка

(2.100)

При рассмотрении воздействия единичного скачка на цепи, передаточная функция которых при равна нулю (т. е. на цепи, не пропускающие постоянный ток), спектральную плотность можно определять по формуле

(2.100)