11.9. ВЛИЯНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ ПОМЕХИ НА ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СИГНАЛА

Рассмотренные в предыдущем параграфе характеристики случайного сигнала — корреляционная и спектральная — не являются исчерпывающими. Для прикладных задач большой интерес представляет определение плотности вероятности .

В общем случае, когда передаточная функция цепи является функцией двух переменных — частоты и времени, отыскать при произвольном законе распределения входного сигнала весьма затруднительно. Задача значительно упрощается при мультипликативной помехе типа AM, когда передаточная функция зависит только от одной переменной — времени t.

Имея в виду это условие, рассмотрим следующие три характерные ситуации:

1. — случайный, — детерминированный процессы;

2. — детерминированный, — случайный процессы;

3. и — случайные процессы.

Ситуации 1) и 2) приводят к задаче нахождения закона распределения произведения , в котором один из сомножителей является случайной, а другой — детерминированной величиной. Если случайный процесс стационарный, задача легко решается. Из теории случайных функций известно, что при умножении случайной функции (стационарный процесс) с дифференциальным законом распределения с нулевым средним и дисперсией на детерминированную функцию времени получается нестационарный процесс с прежним законом распределения, но с дисперсией

В частности, если входной сигнал — стационарный гауссовский процесс с дисперсией а передаточная функция системы — детерминированная (случай 1), то выходной сигнал сохраняет нормальное распределение, однако каждому фиксированному моменту времени соответствует своя дисперсия

При детерминированном сигнале и случайной функции (случай 2), если последнюю можно представить в форме , выходной сигнал целесообразно записать в виде

Первое слагаемое в правой части характеризует полезный выходной сигнал (детерминированный), а второе — мультипликативную помеху (случайную). Закон распределения этого слагаемого такой же, как у случайного процесса , но с дисперсией

Рассмотрим случай 3). Пусть оба процесса стационарные, с плотностями вероятности соответственно Задача заключается в нахождении плотности вероятности случайного процесса являющегося произведением

Из теории вероятностей известно, что если взаимно независимым случайным величинам х и у соответствуют плотности вероятности и , то произведению соответствует плотность вероятности , определяемая выражением

(11.83)

Подразумевая под входной сигнал , под у передаточную функцию произведение , получаем выражение для определения плотности вероятности выходного сигнала

Проиллюстрируем применение (11.83) на примере передачи гармонического сигналах в котором начальная фаза 0 является случайной величиной, равномерно распределенной на интервале , через линейную цепь с передаточной функцией , флуктуирующей относительно среднего значения по нормальному закону.

Таким образом, соответствующие плотности вероятности

Подставляя эти выражения в (11.83) и приравнивая , приходим к следующему общему выражению для плотности вероятности выходного сигнала:

Следует подчеркнуть, что найденный закон распределения характеризует мгновенное значение выходного сигнала.

Для практики часто основной интерес представляет распределение огибающей выходного сигнала. Представляя выходной сигнал в форме

где — огибающая, приходим к очевидному заключению, что случайная фаза не влияет на распределение огибающей. Последнее совпадает с распределением функции , т. е. является нормальным, со средним значением и с дисперсией