4.4. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ И КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИЕЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

С одной стороны, скорость изменения х(t) во времени определяет ширину спектра. С другой стороны, скорость изменения х(t) определяет ход ковариационной функции. Очевидно, что между имеется тесная связь.

Теорема Винера — Хинчина утверждает, что связаны между собой преобразованиями Фурье:

Рис. 4.9. Широкополосный и узкополосный спектры случайного процесса (примеры 1, 2, 3); границы центральной полосы 1

Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные выражения имеют вид

Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобразований Фурье, установленным в гл. 2 для детерминированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.

Большой интерес представляет белый шум, когда спектр равномерен на всех частотах .

Если в выражение (4.39) подставить , то получим [см. (2.93)]

где — дельта-функция.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляционная функция равна нулю для всех значений , кроме при котором обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика.

Поясним применение приведенных выше соотношений на примерах.

1. Пусть заданы следующие параметры напряжения шума (гауссовский стационарный процесс с нулевым средним): среднеквадратическое значение иск и энергетический спектр равномерный в полосе частот от до (сплошная линия на рис. 4.9), при .

Шум с подобным спектром обычно называют широкополосным. В данном случае

Корреляционная функция рассматриваемого процесса [см. (4.39)]

Дисперсия шума

Нормированная корреляционная функция (рис. 4.10, а)

2. Вырежем из спектра исходного шума полосу от до обозначенную на рис. 4.9 штриховкой, и найдем соответствующие этому ограниченному по полосе шуму.

Сужение спектра привело к растяжению графика по оси (рис. 4.10, а). Интервал корреляции увеличился в раз.

3. Найдем аналогичные характеристики для шума, спектр которого обозначен на рис. 4.9 двойной штриховкой. От предыдущего этот случай отличается положением спектральной полосы на оси частот. Шум с подобным спектром называют узкополосным (при ).

Дисперсия этого шума очевидно, не отличается от . Корреляционная функция

Рис. 4.10. Нормированная корреляционная функция случайного процесса со спектром, равномерным в полосе: а) , и

Рис. 4.11. Примерный вид реализации случайного процесса, корреляционная функция которого показана на рис. 4.10, б (масштабы по осям t и разные)

Нормированная корреляционная функция (рис 4.10, б)

Огибающая функции (штриховая линия) по форме подобна огибающей функции однако эта функция имеет вдвое большую протяженность.

Высокочастотное заполнение функции имеет частоту равную центральной частоте спектра шума (см. рис. 4.9).

График нормированной корреляционной функции, показанный на рис. 4.10, б, позволяет составить представление о характере шумового колебания с узкополосным спектром. Осцилляции корреляционной функции с частотой указывают на то, что и мгновенное значение шумового колебания изменяется в среднем с частотой Напомним, что корреляционная функция гармонического колебания является также гармонической функцией той же частоты (см. § 2.18). Изменение же огибающей корреляционной функции по закону указывает на то, что огибающая шумового колебания, являющаяся случайной величиной, изменяется во времени относительно медленно, подобно функции времени, спектр которой ограничен наивысшей частотой Примерный вид шумового колебания, соответствующего корреляционной функции (4.44), представлен на рис. 4.11 (в измененном масштабе времени).

Итак, шумовое колебание с узкополосным спектром следует представлять высокочастотным колебанием с медленно (по сравнению с частотой ) изменяющимися амплитудой и фазой:

где — центральная частота спектра шума.

Следует подчеркнуть, что все параметры этого колебания: амплитуда, фаза и частота — являются случайными функциями времени. Статистические характеристики этих параметров рассматриваются в § 4.6.