Глава 16. ОБОБЩЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ. КЕПСТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

16.1. ОБОБЩЕННЫЙ ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

В предыдущих главах принцип суперпозиции рассматривался как основное свойство линейных систем. Математическая формулировка (1.1) принципа суперпозиции, предусматривающая только операцию сложения сигналов, является фундаментальной для обработки аддитивной смеси сигналов. Она также является основой для спектрального метода анализа воздействия сложных сигналов на линейные цепи, для метода интеграла Дюамеля и других методов, при которых входной сигнал представляется в виде суммы элементарных слагаемых.

Однако операция сложения, как указывалось в § 1.5, не исчерпывает проблемы обработки сложных сигналов. Важное значение для современной теории и техники обработки сигналов имеют, в частности, операции умножения и свертки сигналов.

Линейные системы не позволяют осуществить раздельную обработку сигналов, входящих в произведение или образующих свертку. Иными словами, по отношению к сигналам или неприменим принцип суперпозиции, в том виде, в каком он сформулирован для линейных систем. Однако с помощью сочетания линейных и некоторых нелинейных элементов можно осуществить систему, подчиняющуюся обобщенному принципу суперпозиции по отношению к упомянутым выше (и некоторым другим) сигналам.

Отыскание классов подобных систем для различных комбинаций входных сигналов основывается на теории линейных векторных пространств и на общей теории преобразования этих пространств. Основные понятия пространства сигналов, трактуемого как векторное пространство, были изложены в § 4.8 и 4.9. Применение этих понятий к задаче синтеза цепей, подчиняющихся обобщенному принципу суперпозиции, рассматривается в следующем параграфе. Предварительно поясним принцип построения подобных цепей для одного частного случая, основываясь на физических представлениях.

Рассмотрим обработку мультипликативного сигнала и поставим перед собой задачу преобразования его к виду суммы Искомый оператор преобразования обозначим символом D. Математически поставленная выше задача сводится к требованию

Известно, что единственной непрерывной функцией, удовлетворяющей функциональному уравнению (16.1), является логарифмическая функция. Следовательно, оператор D соответствует логарифму и нелинейное устройство, осуществляющее требуемое преобразование, должно иметь характеристику вида . Сигнал на выходе этого устройства

В данном случае для упрощения мы ограничились рассмотрением действительных и ненулевых функций

По своему частотному спектру, а следовательно и по форме сигналы отличаются от . Существенно, однако, что сумму можно обрабатывать (фильтровать) с помощью обычной линейной цепи.

Обозначим через сигналы на выходе линейного фильтра L, осуществляющего фильтрацию сигналов Поскольку последние имеют смысл логарифмов , то можно рассматривать как логарифмы выходных сигналов Тогда возникает задача, обратная по отношению к (16.2): как перейти от суммы к произведению .

Преобразованием, обратным логарифмированию, является потенцирование. Оператор такого преобразования обозначим . Тогда характеристика нелинейного элемента, осуществляющего обратное преобразование, должна иметь вид , так что

Рис. 16.1. Пример нелинейной системы, подчиняющейся принципу суперпозиции

Между двумя нелинейными элементами, осуществляющими преобразования D и должно быть включено линейное устройство L для фильтрации сигналов т. е. для осуществления основной линейной обработки.

В результате приходим к схеме обработки, представленной на рис. 16.1. Как обозначено на этом рисунке, нелинейный элемент D преобразует произведение в сумму линейный элемент L сохраняет операции суммирования а нелинейный элемент преобразует сумму в произведение.

Применение подобной обработки целесообразно в тех случаях, когда с помощью линейного устройства L возможно разделять по частотному признаку сигналы и изменять в желательном направлении соотношение между уровнями сигналов

Пусть, например, спектры функций не перекрываются, а линейный фильтр L пропускает только сигнал Тогда выражение (16.3) принимает следующий вид:

Аналогично при режекции сигнала получим Таким образом можно осуществить разделение сигналов.

Система, представленная на рис. 16.1, в целом подчиняется обобщенному принципу суперпозиции, в данном случае по отношению к сигналу так как в этой системе между сигналами отсутствует взаимодействие и соотношение между а также между определяется только линейным устройством

Именно в этом смысле в дальнейшем будет трактоваться термин «обобщенный принцип суперпозиции».