15.7. ФИЛЬТР ЧЕБЫШЕВА (НИЖНИХ ЧАСТОТ)

Для улучшения аппроксимации идеальной прямоугольной характеристики ФНЧ (см. рис. 15.7) часто применяется аппроксимация по Чебышеву, при которой в качестве функции в формуле (15.19) используется квадрат полинома Чебышева соответствующего порядка п. При этом формула (15.20) записывается в виде

(15.33)

где

Коэффициент вводится для ограничения амплитуды пульсации АЧХ в полосе пропускания, т. е. в интервале . Чем меньше , тем лучше аппроксимируется АЧХ в указанной полосе, но одновременно снижается крутизна ската характеристики в полосе задерживания (при ). Варьируя коэффициент и степень полинома , можно осуществить приемлемый компромисс между противоречивыми требованиями к аппроксимации характеристики в полосе пропускания и вне этой полосы.

Рис. 15.11. Амплитудно-частотная характеристика фильтра Чебышева четвертого порядка

В § 14.2 указывалось, что значение колеблется в пределах ±1 в интервале и растет по закону при График функции при и показан на рис. 15.11.

Амплитуду пульсации АЧХ в полосе пропускания, равную

(15.34)

при малых можно приравнять значению (см. рис. 15.11).

Вне полосы пропускания (при больших ), когда передаточная функция монотонно убывает по закону

(15.35)

Для сравнения аппроксимации прямоугольной АЧХ по Чебышеву с аппроксимацией по Баттерворту найдем ослабление АЧХ при для фильтра четвертого порядка По формуле, приведенной в § 14.2 (или из таблицы полиномов Чебышева), определяем

Далее,

Как видим, при одной и той же степени сложности фильтра (при одинаковых значениях ослабление АЧХ у фильтра Чебышева на 8 дБ больше, чем у фильтра Баттерворта. При этом аппроксимация АЧХ в полосе пропускания лучше у фильтра Чебышева: наибольшее отклонение от единицы не превышает (вместо ~ 0,3 у фильтра Баттерворта).

Определим полюсы передаточной функции фильтра Чебышева. Как и в предыдущем параграфе, записываем выражение (15.33) в форме

(15.36)

после чего находим корни уравнения

(15.37)

Опустив промежуточные выкладки [27], приведем окончательные выражения

где

(15.38)

Для полюсов, расположенных в левой -полуплоскости, получается следующее выражение:

(15.40)

По найденным полюсам составляется выражение для передаточной функции , аналогичное (15.29):

(15.41)

В отличие от фильтра Баттерворта коэффициент не равен единице (поскольку полюсы передаточной функции расположены не на окружности единичного радиуса, а на эллипсе). Поэтому в числитель вводится коэффициент для нормирования АЧХ к единице при (и соответственно ).

Численные значения коэффициентов а также полюсов в зависимости от степени и коэффициента неравномерности АЧХ приводятся в литературе по расчету фильтров.

Для иллюстрации синтеза фильтра Чебышева определим схему и параметры фильтра при следующих требованиях: неравномерность в полосе прозрачности не более 3 дБ, затухание при не менее 30 дБ. При заданной неравномерности, приравнивая в выражении получаем Далее по формуле (15.35) находим требуемое значение

Ослаблению на 30 дБ соответствует уменьшение АЧХ в раза. При максимальном значении АЧХ, равном единице, получаем следующее условие для определения порядка полинома Чебышева: . Перебором первых трех полиномов низших степеней (см. § 14.2) убеждаемся, что полином второй степени при равный обеспечивает требуемую скорость убывания АЧХ в полосе задерживания. Применяя формулы (15.39), (15.40), находим

Передаточная функция [по формуле (15.41)]

(15.42)

Приравнивая (как и в предыдущем параграфе) коэффициенты полинома в знаменателе выражения (15.31) соответственно получаем следующие соотношения для определения параметров активной RC-цепи:

Сохранив соотношения, принятые в § 15.6 для фильтра Баттерворта получим

Из сопоставления полученных результатов с результатами расчета фильтра Баттерворта видим, что, изменяя коэффициент усиления (операционного усилителя) и несущественно изменяя сопротивления резисторов (или емкости конденсаторов ), можно перейти от фильтра Баттерворта к фильтру Чебышева. Следует, однако, отметить, что при фильтр Баттерворта обеспечивает ослабление АЧХ при всего лишь на 24 дБ [см. (15.22) при Для получения ослабления на 30 дБ потребовалось бы (одно звено второго порядка и одно апериодическое звено). Это преимущество фильтра Чебышева в зоне задерживания (более быстрое убывание АЧХ) достигается ценой некоторого ухудшения равномерности в полосе прозрачности фильтра.