11.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В БЕЗЫНЕРЦИОННЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ

Реальное нелинейное устройство представляет собой сочетание нелинейных безынерционных элементов с линейными инерционными электрическими цепями. Это очень усложняет определение статистических характеристик сигнала и шума на выходе всего устройства. Для линейных цепей просто определить корреляционную (или спектральную) функцию, но очень сложно — закон распределения. В нелинейных же, но безынерционных элементах, наоборот, основная трудность состоит в нахождении корреляционной функции. Поэтому общих методов анализа преобразования случайных процессов в нелинейных устройствах не существует. Приходится ограничиваться некоторыми частными задачами, представляющими практический интерес и поддающимися решению, а также прибегать к различным идеализациям характеристик изучаемой модели устройства.

Пусть на нелинейный элемент действует случайное колебание (напряжение, ток) с заданной плотностью вероятности . Требуется найти плотность вероятности выходной величины . Связь между х определяется нелинейной зависимостью имеющей смысл, например, вольт-амперной характеристики электронного, полупроводникового или иного активного элемента.

Если определяет однозначное соответствие между х и у в каждый рассматриваемый момент независимо от значений в предыдущие моменты времени (безынерционный элемент), то плотность вероятности находится из очевидного соотношения

откуда с учетом неотрицательности

Если обратная функция неоднозначна, то

где — значения входной величины соответствующие рассматриваемому значению .

Если характеристика постоянна на некотором интервале изменения то выражение (11.3) следует дополнить слагаемым с дельта-функцией, учитывающим интегральную вероятность пребывания ниже (или выше) определенного уровня.

Нахождение проще всего пояснить на практических примерах. Здесь мы ограничимся случаем, когда соответствует нормальному распределению.

1. Воздействие гауссовского случайного процесса на элемент с симметричной квадратичной характеристикой (рис. 11.1). Показанную на рис. 11.1 вольт-амперную характеристику можно реализовать, например, с помощью двухтактного включения двух диодов с квадратичными характеристиками (рис. 11.2).

При полярности напряжения, обозначенной на рис. 11.2, ток, равный проходит через диод при противоположной полярности — через диод .

Рис. 11.1. Воздействие случайного процесса на нелинейный элемент с квадратичной характеристикой

Рис. 11.2. Двухтактное включение диодов

Рис. 11.3. Плотность вероятности тока в цепи с квадратичной вольт-амперной характеристикой при воздействии гауссовского случайного процесса

Рис. 11.4. Воздействие гауссовского процесса на однополупериодный детектор

Полагая и учитывая, что какому-либо фиксированному значению у соответствуют два значения , а именно формуле (11.4) находим

Подставляя в выражение для плотности вероятности :

получаем окончательно

График этого распределения изображен на рис. 11.3.

2. Воздействие гауссовского процесса на однополупериодный детектор с линейно-ломаной характеристикой (рис. 11.4).

В данном случае

Очевидно, что в соответствии с (11.3)

Особое внимание следует обратить на поведение функции в точке . Так как при любых отрицательных значениях , то вероятность равна вероятности того, что . Но вероятность . Отсюда вытекает, что плотность вероятности .

Рис. 11.5, Плотность вероятности случайного процесса на входе (а) и выходе (б) однополупе-рнодного детектора

Рис. 11.6. Воздействие гауссовского процесса на ограничитель

Рис. II.7. Плотность вероятности случайного процесса на входе (а) и выходе (б) ограничителя

Это обстоятельство можно учесть, записав выражение для в форме

Слагаемое равно нулю всюду, кроме точки , где оно обращается в бесконечность. При интегрировании же по у это слагаемое дает 1/2. Графики изображены на рис. 11.5.

3. Воздействие гауссовского процесса на ограничитель (рис. 11.6).

По аналогии с предыдущим случаем нетрудно составить выражение

Графики распределения х и у изображены на рис. 11.7. Приведенных примеров достаточно для уяснения метода определения плотности вероятности случайной величины на выходе нелинейного безынерционного элемента с любой вольт-амперной характеристикой. Простота этого метода обусловлена тем, что не учитывается влияние выходных цепей (инерционных) на работу рассматриваемого нелинейного элемента.