12.16. ПРИМЕНЕНИЕ БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В УСТРОЙСТВАХ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Вернемся к структурной схеме цифровой фильтрации сигнала, представленной на рис. 12.35.

В § 12.13 отмечалось, что осуществление подобной обработки при длинных последовательностях s(k) стало эффективным лишь при использовании алгоритма БПФ — как для прямого, так и обратного дискретного преобразования (ОБПФ).

По существу, в данной схеме на первом этапе проводится спектральный анализ входного сигнала с помощью БПФ, затем осуществляется собственно фильтрация с помощью цифрового фильтра , после чего профильтрованный сигнал с помощью ОБПФ преобразуется в выходной сигнал в виде функции времени. В современной практике как БПФ, так и ОБПФ осуществляются в одном и том же устройстве.

Обратимся к рассмотрению другой задачи — вычислению дискретной свертки двух функций времени , представленных последовательностями , с использованием БПФ.

В основе алгоритма этой операции, представленного на рис. 12.43, лежит теорема свертки, сформулированная для дискретных сигналов в § 12.4.

В соответствии с этой теоремой , причем под N, как и ранее, следует подразумевать . После обратного БПФ получается последовательность , являющаяся сверткой последовательностей и

Таким образом, вместо прямого вычисления свертки двух сигналов по формуле (12.73) сначала эти сигналы с помощью БПФ переводятся в спектральную область, а затем после перемножения спектров и ОБПФ приводятся к требуемому результату.

При достаточно длинных последовательностях суммарное число арифметических операций оказывается значительное меньшим, чем при алгоритме (12.73). Подобную более экономную обработку иногда называют «скоростной сверткой».

Рис. 12.44. Вычисление корреляционной функции сигнала с помощью БПФ

Рис. 12.45. К вычислению корреляционной функции сигнала по алгоритму рис. 12.44

Рассмотрим еще важный для практики вопрос об использовании БПФ при вычислении корреляционной функции дискретного сигнала.

На основе выражений

являющихся дискретными эквивалентами интегральных преобразований (2.136), (2.137), можно наметить структурную схему, представленную на рис. 12.44.

При входной последовательности из N отсчетов устройство БПФ рассчитывается на удвоенное число отсчетов (половина входов резервируется для обратного преобразования). Число отсчетов корреляционной функции равно 2N. Связь между последовательностями иллюстрируется рис. 12.45.

Вследствие периодичности ОДПФ (с периодом 2N) последовательность , эквивалентна четной относительно k последовательности, изображенной в нижней части рис. 12.45.