7.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ И КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЦЕПИ

Содержание данного параграфа ограничено рассмотрением стационарных случайных процессов.

Спектральную плотность входного процесса обозначим Задача нахождения легко решается с помощью рассуждений, аналогичных использованным при выводе выражения (4.31). Умножив спектральную плотность «усеченной» реализации процесса на передаточную функцию фильтра , получим спектральную плотность этой же реализации на выходе

Энергию рассматриваемого отрезка реализации можно определить с помощью равенства Парсеваля

Тогда по аналогии с выражением (4.34) получаем

Корреляционная функция случайного процесса на выходе фильтра определяется с помощью выражения (4.39):

Соотношения между характеристиками случайных процессов на входе и выходе цепи можно вывести также и на основе заданной импульсной характеристики цепи.

Действительно, поскольку спектральной функции соответствует корреляционная функция

а спектральной функции

т. е. корреляционная функция импульсной характеристики [см., например, (2.136), в которой нужно заменить на то произведению спектральных функций соответствует свертка функций [см. (2.64)]

Таким образом, по заданным корреляционным функциям определяется корреляционная функция на выходе после чего находится энергетический спектр

Особый интерес представляет случай когда процесс на входе является белым шумом. В этом случае и в соответствии с (7.3) и (7.5)

Выражение (7.7) можно применять и в тех случаях, когда энергетический спектр равномерен лишь в полосе прозрачности цепи.

Итак, ни спектральный, ни корреляционный анализ прохождения стационарного случайного процесса через линейную цепь с постоянными параметрами не связан с какими-либо трудностями.