10.3. ПРИМЕР ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

Для определения импульсной характеристики непосредственно по заданным параметрам цепи без обращения к передаточной функции необходимо использовать дифференциальное уравнение цепи.

Рассмотрим простую цепь, описываемую уравнением первого порядка

(10.16)

По определению импульсная характеристика является откликом цепи на единичный импульс , подаваемый на вход в момент (см. § 10.2). Из этого определения следует, что если в правой части уравнения (10.16) функцию заменить на , то в левой части у можно заменить на .

Таким образом, приходим к уравнению

(10.17)

Так как правая часть этого уравнения равна нулю всюду, кроме точки функцию можно искать в виде решения однородного уравнения (с нулевой правой частью)

(10.18)

при начальных условиях, вытекающих из уравнения (10.17), а также из условия, что к моменту приложения импульса б в цепи отсутствуют токи и напряжения («пустая» цепь).

В (10.18) переменные разделяются:

откуда

где , а

(10.20)

представляет собой значение импульсной характеристики в момент

Для определения вернемся к исходному уравнению (10.17), из которого видно, что в точке функция должна совершать скачок на величину (рис. 10.3). Только при этом условии первое слагаемое в уравнении (10.17), т. е. может образовать дельта-функцию Так как при то в момент

(10.21)

Заменяя в выражении (10.19) неопределенный интеграл определенным с переменным верхним пределом, получаем

(10-22)

Для ясности переменная интегрирования вместо t обозначена буквой и.

Используем выражение (10.22) для цепи (рис. 10.4), представляющей собой последовательное соединение резистора с переменным сопротивлением

(10.23)

и с постоянной емкостью Под подразумевается импульс ЭДС, а в качестве определяемой функции выберем заряд конденсатора

Тогда уравнение цепи в соответствии с (10.17) и (10.23) можно записать в форме

(10.24)

Подставляя в (10.22)

получаем

(10.25)

Рис. 10.3. Импульсная характеристика цепи, описываемой уравнением (10.17)

Рис. 10.4. Пример простой параметрической цепи

Рис. 10.5. К определению импульсной характеристики цепи, представленной на рис. 10.4

Продифференцировав это выражение по t, можно найти ток . В момент когда образует скачок, равный ток будет ) Напряжение на емкости можно определить делением выражения (10.25) на

Из выражения (10.25) видно, как вариация сопротивления по закону (10.23) влияет на характер разряда: в аргументе экспоненты кроме — (как и при постоянном сопротивлении ) появляется периодическое слагаемое .

Закон изменения показан на рис. 10.5, а, график функции при — на рис. 10.5, б.

Штриховой линией показана зависимость , соответствующая импульсной характеристике при постоянном сопротивлении

Для более сложных цепей, описываемых дифференциальным уравнением порядка , задача определения импульсной характеристики усложняется.