16.2. ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА ГОМОМОРФНОЙ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ

Если сигналы на входе и выходе рассматриваемой системы трактовать как элементы векторного пространства, то любое преобразование осуществляемое системой над сигналом , является преобразованием пространства сигналов. Такое преобразование переводит элементы пространства входных сигналов в элементы . пространства выходных сигналов, причем

Рассмотрим теперь преобразование входного сигнала, являющегося некоторой комбинацией двух сигналов Как уже ранее отмечалось, для обработки сигналов в радиоэлектронике наибольший интерес представляют следующие три комбинации: сложение, умножение и свертка. Обобщим эти операции символом , т. е. . Каждому сигналу соответствует вполне определенный элемент в пространстве выходных сигналов, однако различным операциям — суммированию, умножению или свертке соответствует определенный оператор: или

Можно синтезировать систему, осуществляющую такое преобразование входного сигнала при котором сигнал на выходе будет иметь , где О — обозначение (общее) операций над элементами пространства выходных сигналов (сложение, умножение, свертка), причем операция О может не совпадать с операцией .

Для такой системы имеет место следующее соотношение:

Имеется в виду однозначное, но не обязательно взаимно-однозначное преобразование.

Примером невзаимно-однозначного преобразования может служить операция квадрирования

Каждому значению соответствует одно - единственное значение в пространстве выходных сигналов, при обратном же преобразовании получим два возможных значения

Преобразование векторного пространства, отвечающее равенству (16.4), называется гомоморфным (в отличие от обратимого, изоморфного преобразования), а системы, осуществляющие такое преобразование, называются гомоморфными относительно операции на входе и операции О на выходе системы.

В частном случае выражение (16.4) переходит в соотношение

соответствующее формулировке принципа суперпозиции для обычной линейной системе [см. (1.1)].

С этой точки зрения выражение (16.4) можно трактовать как обобщение принципа суперпозиции.

Пространство выходных сигналов, как и исходное, является линейным векторным пространством, хотя сам оператор преобразования может быть нелинейным.

Проиллюстрируем смысл этого обобщения на нескольких примерах.

1. Система, осуществляющая преобразование Фурье сигнала

В данном случае и

— чисто линейное преобразование.

Аналогичное соотношение можно написать и для -преобразования, обозначаемого через

(16.7)

Выражения (16.6), (16.7) соответствуют определению принципа суперпозиции для линейной системы.

2. Система, осуществляющая преобразование сигнала s ) в сумму

В данном примере . В соответствии с предыдущим параграфом [см. (16.2)] оператор есть функция логарифмирования

В данном случае гомоморфное преобразование с помощью нелинейного элемента (с логарифмической характеристикой) переводит операцию умножения в операцию сложения, что и обеспечивает применимость принципа суперпозиции к выходным сигналам.

3. Система, осуществляющая преобразование Фурье сигнала, представляющего собой свертку континуальных сигналов или свертку дискретных сигналов .

Известно, что свертке функций времени соответствует произведение их спектральных плотностей [см. (2.64)]; следовательно, в данном случае обозначает свертку или , а О — умножение Таким образом, для аналогового сигнала

и для дискретного сигнала

(16.10)

где , как и в п. 1, обозначает -преобразование.

В рассматриваемом примере гомоморфное преобразование, переводящее операцию свертки в операцию умножения, является линейным (это относится как к , так и к . Оба эти преобразования обратимы, так как каждому прямому преобразованию соответствует однозначное обратное преобразование. Иными словами, преобразование Фурье и -преобразование изоморфны.

Дополнительное гомоморфное преобразование с помощью логарифмической нелинейности (как в примере 2) приводит к сумме функций вида

что и обеспечивает применимость принципа суперпозиции.

4. Система, осуществляющая преобразование операции сложения сигналов в операцию их умножения.

В § 16.1 показано, что для такого преобразования требуется нелинейный элемент с характеристикой [см. (16.3)].

Приведенные выше рассуждения, а также примеры позволяют обобщить намеченную в § 16.1 систему гомоморфной обработки так, как это показано на рис. 16.2. Обобщенная, так называемая каноническая система гомоморфной обработки состоит из трех каскадов.

Первая система в общем случае нелинейная, обладающая свойством

(16.11)

подчиняется обобщенному принципу суперпозиции со входной операцией и выходной операцией (см. обозначения на рис. 16.2). Система называется характеристической системой гомоморфной обработки.

Система L, являющаяся обычной линейной цепью, удовлетворяет условию и выполняет основную функцию по раздельной обработке (фильтрации) сигналов

Рис. 16.2. Каноническая система гомоморфной обработки

Наконец, система преобразующая операцию сложения в выходную операцию Q, удовлетворяет условию

(16.12)

Преобразование является обратным по отношению к преобразованию D. Если D — система нелинейная, то и — нелинейная система.

В последующих параграфах поясняется выбор характеристических систем для двух классов сигналов — произведения и свертки.