15.13. МЕТОД ИНВАРИАНТНЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для осуществления синтеза, инвариантного по отношению к АЧХ, следует применить преобразование, при котором бы вся мнимая ось -плоскости отображалась на z-плоскости одним обходом окружности радиуса |z| = 1.

Этому требованию отвечает билинейное (дробно-рациональное) преобразование

(15.72)

где — произвольная постоянная, обеспечивающая безразмерность величины р, выбираемая исходя из соображений нормирования.

Для уяснения смысла билинейного преобразования положим , т. е. приравняем и на основании (15.72) запишем

(15.73)

Из этого выражения следует: перемещению точки вдоль оси соответствует перемещение точки z по окружности радиуса . В этом отношении билинейное преобразование не отличается от обычного -преобразования, при котором (см. § 12.6). Отличие в том, что угол возрастает пропорционально частоте со, а при билинейном преобразовании угол возрастает нелинейно; при стремлении угол стремится к своим предельным значениям Таким образом, вся ось -плоскости трансформируется на -плоскости в один обход окружности в 1 и тем самым обеспечивается взаимнооднозначное отображение на z для всей -плоскости.

Сопоставление функций и позволяет трактовать как эквивалентную частоту (безразмерную), связанную с обычной частотой со, используемой при анализе и синтезе аналоговых цепей, соотношением

(15.74)

Соответственно

(15.75)

Нормирующую частоту можно определить, установив соотношение между какими-либо характерными частотами передаточных функций аналоговой и цифровой цепей. Например, если речь идет о цифровом ФНЧ с заданной частотой среза сосц, эквивалентном (в смысле АЧХ) аналоговому фильтру с частотой среза соса, то выражения (15.74), (15.75) можно записать так:

Из последнего выражения следует, что

Пусть, например, частота среза цифрового фильтра должна составлять 10% От частоты дискретизации Тогда

а выражение (15.74) переходит в

(15.77)

где — нормированная частота, использованная при аппроксимации АЧХ аналогового фильтра (см. § 15.5, 15.7).

Полученное соотношение между позволяет построить АЧХ синтезируемого цифрового фильтра по заданной характеристике исходного аналогового фильтра. В качестве последней на рис. 15.19, а показана АЧХ фильтра Чебышева (при рассчитанная в § 15.7:

АЧХ цифрового фильтра представлена на рис. 15.19, б. Видно, что эта характеристика, сохраняя масштаб на оси ординат, сжимается на оси абсцисс в пределах —

Обратимся теперь к определению структуры и параметров синтезируемого цифрового фильтра.

Отталкиваясь от передаточной функции исходного аналогового фильтра [см. (15.42)]

(15.78)

где — переменная, нормированная относительно частоты среза, и переходя к новой переменной на основании выражения (15.72) получаем

Подставим полученное выражение для в (15.78). Полюсы рхпх и как и в примере, приведенном в § 15.7, равны соответственно .

После несложных преобразований приходим к следующему результату

где — коэффициент нормирования.

Рис. 15.19. Амплитудно-частотные характеристики аналогового (а) и соответствующего ему цифрового фильтра (б)

Полюсы функции на z-плоскости связаны с полюсами отношениями

Итак, применение билинейного -преобразования привело к появлению в передаточной функции двухкратного нуля (в точке ).

Схема фильтра совпадает со схемой, представленной на рис. 12.21. В данном случае весовые коэффициенты в обратных связях (см. § 12.8, п. 4) , а в прямых связях

При и функция по условию должна равняться единице, как и функция при При указанных выше коэффициентах а и

При синтезе цифрового фильтра существенное значение имеет выбор числа разрядов в преобразователе , а также в арифметическом устройстве исходя из допустимого уровня шумов квантования и округления (см. § 12.10 и 12.11).

Иначе обстоит дело с весовыми коэффициентами Для точного представления этих коэффициентов в двоичной системе счисления может потребоваться значительное число разрядов (1,011101 для и 0,10101101 для ). Однако ценой несущественного отклонения АЧХ от заданной обычно можно значительно уменьшить число разрядов. Например, при загрублении весовых коэффициентов до и получается АЧХ, практически совпадающая с заданной.

При этом необходимо, однако, учитывать, что погрешность квантования в цепях обратной связи накапливается и при значениях близких к единице, полюсы могут оказаться вне единичного круга, что означает неустойчивость фильтра.

Правильный выбор длины кодового слова (т. е. разрядности арифметического устройства фильтра), являющийся одним из важнейших вопросов синтеза цифровых цепей, изучается в специальных дисциплинах.