12.9. ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ВЕСОВЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Переход от действительных весовых коэффициентов к комплексным придает фильтрам новые свойства, важные для обработки комплексных сигналов.

Для выяснения сути дела обратимся к простому рекурсивному фильтру первого порядка с передаточной функцией (12.47) и подставим в это выражение вместо комплексный коэффициент

(12.61)

где — единственный полюс, который может быть расположен в любой точке внутри единичного круга (условие устойчивости). Угол может быть любым в интервале от до .

Сигнал на входе фильтра зададим в виде последовательности отсчетов взятых из соответствующего комплексного континуального сигнала

Схема замещения рассматриваемого фильтра показана на рис. 12.25, а. Для построения развернутой схемы исходим из разностного уравнения (см. § 12.8, п. 2)

Подставляя приходим к алгоритму

Этот алгоритм реализуется схемой, представленной на рис. 12.25, б. Обратимся теперь к выражению (12.61) и подставим а также . В результате получим

откуда следует простое выражение для АЧХ фильтра

Максимальное значение АЧХ соответствует частоте Существенно, что при заданном значение максимума АЧХ не зависит от резонансной частоты

Рис. 12.25. Рекурсивная схема первого порядка с комплексным весовым коэффициентом

Рис. 12.26. Положение полюса функции и АЧХ фильтра, показанного на рис. 12.25

График АЧХ при показанном на рис. 12.26, а положении полюса соответствующем представлен на рис. 12.26, б. При изменении знака перед , т. е. при положении полюса ниже оси полоса прозрачности фильтра будет в диапазоне или, что то же самое, в диапазоне (на рис. 12.26, б АЧХ обозначена штриховой линией).

Итак, однополюсный резонатор, т. е. рекурсивный фильтр первого порядка с комплексным коэффициентом , позволяет осуществить фильтр, реагирующий либо только на положительную, либо только на отрицательную частоту. С понятием колебания отрицательной частоты как с физическим процессом мы встретимся в § 13.9 при рассмотрении квадратурной обработки сигнала.

Обратимся к рассмотрению цифрового трансверсального фильтра первого порядка с комплексным весовым коэффициентом.

В п. 1 § 12.8 было показано, что трансверсальный фильтр первого порядка (см. рис. 12.12) с действительным весовым коэффициентом позволяет осуществить режекцию (подавление) колебаний на частотах (при , см. рис. 12.14, б) или на частоте (при см. рис. 12.13, б).

Найдем характеристики аналогичного фильтра при комплексном весовом коэффициенте (рис. 12.27, а).

Передаточная функция фильтра

(12.62)

имеет нуль в точке а разностное уравнение

Подставив придем к следующему результату:

Соответствующая этому алгоритму развернутая схема представлена на рис. 12.27, б.

Для определения АЧХ фильтра подставим в (12.62) , где — частота, на которой должно обеспечиваться подавление колебания. Иными словами, нуль передаточной функции должен находиться на окружности

Рис. 12.27. Трансверсальный фильтр первого порядка с комплексным коэффициентом

Тогда

и АЧХ фильтра

Задавая весовые коэффициенты соотношениями можно перемещать нуль АЧХ во всем частотном диапазоне от 0 до .