3.9. ОГИБАЮЩАЯ, ФАЗА И ЧАСТОТА УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА

Современное состояние радиотехники характеризуется непрерывным совершенствованием способов передачи информации. Изыскиваются новые виды сигналов и новые способы их обработки.

Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в результате одновременной модуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по очень сложному закону.

В любом случае предполагается, что заданный сигнал а представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все спектральные составляющие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой полосе.

При представлении подобных сигналов в форме

возникает неоднозначность в выборе функций , так как при любой функции всегда можно удовлетворить уравнению (3.57) надлежащим выбором функции

Так, простейшее (гармоническое) колебание

можно представить в форме

где

В выражении (3.58) огибающая в отличие от является функцией времени, которую можно определить из условия сохранения заданной функции

откуда

Из этого примера видно, что при нерациональном выборе вместо очень усложнилось выражение для , причем эта новая функция по существу не является «огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую (вместо касания в точках, где имеет максимальное значение). Оперирование подобной «огибающей» не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как может привести к ошибочным практическим выводам (например, при рассмотрении работы амплитудного детектора).

Неопределенности можно избежать при представлении и с помощью следующих соотношений:

где — новая функция, связанная с исходной соотношениями

Эти соотношения называются преобразованиями Гильберта, а функция — функцией, сопряженной (по Гильберту) исходной функции a(t).

Для выяснения смысла выражений (3.60), (3.61), а также требования, чтобы являлась функцией, сопряженной по Гильберту исходной функции , рассмотрим сначала некоторые свойства , вытекающие непосредственно из выражения (3.60) и справедливые при любой функции

Прежде всего мы видим, что в точках, где функция равна нулю, имеет место равенство .

Дифференцируя (3.60), получаем

Отсюда видно, что при когда , имеет место дополнительное равенство

Следовательно, в точках, в которых кривые имеют общие касательные.

Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно было рассматривать как «простейшую» огибающую быстро осциллирующей функции . Необходимо потребовать, чтобы кривая касалась кривой а в точках, в которых последняя имеет амплитудное или достаточно близкое к нему значение. Иными словами, в точках, где обращается в нуль, функция а должна принимать значения, близкие к амплитудным. Это условие как раз и обеспечивается, если функция является сопряженной по Гильберту функции . Это свойство преобразований Гильберта нагляднее всего иллюстрируется на примере гармонического сигнала.

Пусть . Найдем сопряженную функцию . Применяя общее выражение (3.62) и переходя к новой переменной находим

Известно, что

(в смысле главного значения) и

Следовательно, функции соответствует сопряженная функция которая проходит через нуль в моменты, когда исходная функция проходит через максимум. Аналогичным образом нетрудно убедиться, что функции соответствует сопряженная функция .

Подставляя в выражение (3.60), получаем для огибающей гармонического колебания общепринятое выражение

Аналогичный результат получается и для

Как видим, выражение (3.60) определяет огибающую в виде линии, касательной к исходной функции в точках ее максимума и в случае гармонического колебания соединяющей два соседних максимума кратчайшим путем. Таким образом, выражение (3.60) определяет «простейшую» огибающую. Это свойство выражения (3.60) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале [см. (3.2), (3.3)].

Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных составляющих

то сопряженная функция

Ряд (3.65) называется рядом, сопряженным ряду (3.64).

Если сигнал a(t) представлен не рядом (3.64), а интегралом Фурье

то функция может быть представлена в виде интеграла

сопряженного интегралу (3.66).

Нетрудно установить связь между спектрами функций Так как при преобразовании гармонического колебания по Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность сопряженной функции не может отличаться от спектральной плотности исходной функции . Фазовая же характеристика спектра отличается от ФЧХ спектра . Из сопоставления выражений (3.66) и (3.67) непосредственно вытекает, что спектральные составляющие функции отстают по фазе на 90° от соответствующих составляющих функции . Следовательно, при спектральные плотности связаны соотношением

В области отрицательных частот соответственно получается

Вследствие изменения ФЧХ сопряженная функция по своей форме может сильно отличаться от исходной функции a(t).

После того как найдена сопряженная функция можно с помощью выражений (3.60), (3.61) найти огибающую , полную фазу и мгновенную частоту узкополосного сигнала

Выделив в найденной таким образом частоте постоянную часть можно написать выражение

в котором не содержит слагаемого, линейно зависящего от времени.

Тем самым устраняется произвол в выборе «средней частоты» сигнала и соответственно функции

В заключение следует отметить, что в некоторых случаях выражения (3.60)-(3.69) используют также и для широкополосных сигналов, когда понятие «огибающая амплитуд» теряет свой обычный смысл. При этом отказываются от требования, чтобы огибающая касалась кривой а вблизи точек, в которых имеет амплитудное значение.

Поясним применение преобразования Гильберта для определения огибающей, фазы и мгновенной частоты сигнала на следующем примере.

Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических колебаний с близкими частотами

и требуется представить в форме

Расстройка полагается настолько малой по сравнению с что колебание можно считать узкополосным.

Что следует в данном случае подразумевать под и . Непосредственно из выражения (3.72) трудно выявить структуру огибающей и фазы результирующего колебания а(t). Используем поэтому выражения (3.60), (3.61). Сопряженная функция

Применяя формулу (3.60), находим огибающую сигнала

где причем для определенности считается, что .

Полную фазу суммарного колебания находим по формуле (3.61):

(3.75)

Применяя дадее формулу (3.70), после несложных алгебраических и тригонометрических преобразований приходим к следующему выражению для мгновенной частоты:

Так как постоянная составляющая функции равна нулю, то входящие в выражение (3.71) средняя частота и функция будут

(3.79)

Итак; на основании (3.74), (3.76) и (3.78), (3.79) выражение (3.73) приводится к

где определяется выражением (3.77).

При этом исключаются произвол и неопределенность в выборе огибающей и фазы суммарного колебания.

Графики функции характеризующие изменение частоты, приведены на рис. 3.24 для некоторых значений

Рис. 3.24. Мгновенная частота колебания, являющегося суммой двух гармонических колебаний

Рис. 3.25. Сумма двух гармонических колебаний с близкими частотами при одинаковых амплитудах

При при наложении слабого колебания сильное выражения (3.74)-(3.77) значительно упрощаются:

В этом случае огибающая, частота и фаза суммарного колебания изменяются по гармоническому закону с частотой относительно своих средних значений соответственно

При k = 1 функция в соответствии с (3.77) принимает постоянное значение

на всей оси времени, кроме точек , где . Эти выбросы соответствуют производным скачкообразно изменяющейся фазы при переходах огибающей биения через нуль.

Таким образом, в интервалах между указанными моментами частота суммарного колебания .

К этому результату можно прийти непосредственно из выражения (3.72), которое при подстановкой легко приводится к виду

График колебания при представлен на рис. 3.25.

Период функции равен причем в точках перехода через нуль эта функция, как отмечалось выше, меняет свой знак. Если не учитывать перемену знака, т. е. определять огибающую амплитуд функцией то период биений будет вдвое короче, как показано на рис. 3.25.

Поэтому частота биений равна .

Формулы (3.74)-(3.82) имеют большое прикладное значение, так как в физике и технике часто приходится иметь дело с биениями двух гармонических колебаний.