12.13. АЛГОРИТМ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ВО ВРЕМЕННОЙ И ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТЯХ

Рассмотренные в предыдущих параграфах данной главы простейшие трансвер сальные и рекурсивные цифровые фильтры находят широкое применение при обработке относительно коротких дискретных последовательностей. При сложных сигналах с базой N, достигающей десятков, сотен и даже тысяч, структура фильтра усложняется и возникает проблема сокращения вычислительных затрат.

Как и в аналоговой технике, в зависимости от способа задания фильтра — импульсной характеристикой или передаточной функцией — возможны два подхода: во временной, или в частотной области.

Временной подход основан на вычислении дискретной свертки

(12.73)

где — числа отсчетов входного сигнала и импульсной характеристики.

Частотный (спектральный) подход основан на вычислении ДПФ

(12.74)

с последующим применением ОДПФ

(12.75)

Дискретная передаточная функция определяется выражением (12.39) при подстановке

Функциональная схема определения представлена на рис. 12.35.

Хотя число отсчетов во входной последовательности сигнала на меньше, чем М, используется -точечное ДПФ, т. е. предусматривается нулевых отсчетов. При этом число спектральных коэффициентов на выходе ДПФ, а следовательно, и временных отсчетов на выходе ОДПФ будет как и при использовании алгоритма свертки по выражению (12.73). Тем самым устраняются искажения сигнала из-за перекрытия последовательностей во времени. (Последовательности циклически повторяются с периодом ).

Очевидно, что вычисления по алгоритму рис. 12.35 дают результат, эквивалентный вычислению свертки сигнала с импульсной характеристикой по формуле (12.73).

Первый этап, т. е. вычисление ДПФ, представляет собой спектральный анализ входного сигнала и во многих практических задачах имеет самостоятельное значение. При больших значениях N вычисление ДПФ требует очень большого числа арифметических операций.

Из формулы (12.74) следует, что для определения одного спектрального коэффициента требуется N умножений на комплексное число и N сложений, а на все N коэффициентов требуется умножений и столько же сложений.

Рис. 12.35. Структурная схема цифровой фильтрации в частотной области

Так, при требуется умножений и сложений.

При использовании алгоритма свертки (12.73) требуется приблизительно столько же арифметических операций. Это обстоятельство долгое время препятствовало применению цифровой техники к обработке сложных сигналов. Существенный сдвиг в этой области произошел благодаря открытию нового алгоритма, известного под названием «быстрое преобразование Фурье» (БПФ). В связи с широким внедрением БПФ в цифровую обработку алгоритм свертки применяется в основном при фильтрации малобазовых сигналов.