2.18. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Наряду со спектральным подходом к описанию сигналов часто на практике оказывается необходимой характеристика, которая давала бы представление о некоторых свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.

В качестве такой временнбй характеристики широко используется корреляционная функция сигнала.

Для детерминированного сигнала s(t) конечной длительности корреляционная функция определяется следующим выражением:

(2.128)

где — временной сдвиг сигнала.

Рис. 2.36. Построение корреляционной функции для прямоугольного импульса

Рис. 2.37. Построение корреляционной функции для треугольного импульса

В данной главе рассматриваются сигналы, являющиеся вещественными функциями времени, и обозначение комплексного сопряжения можно опустить:

(2.129)

Из выражения (2.129) видно, что характеризует степень связи (корреляции) сигнала s(t) со своей копией, сдвинутой на величину по оси времени. Ясно, что функция достигает максимума при так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом

(2.130)

т. е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала.

С увеличением функция убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов s (t) и на время, превышающее длительность сигнала, обращается в нуль.

На рис. 2.36 показано построение корреляционной функции для простейшего сигнала в виде прямоугольного импульса (рис. 2.36, а). Сдвинутый на (в сторону опережения) сигнал показан на рис. 2.36, б, а произведение — на рис. 2.36, в. График функции изображен на рис. 2.36, г. Каждому значению соответствуют свое произведение и площадь под графиком функции . Численные значения таких площадей для соответствующих и дают ординаты функции

Аналогичное построение для треугольного импульса изображено на рис. 2.37. Из общего определения корреляционной функции, а также из Приведенных примеров видно, что безразлично, вправо или влево относительно своей копии сдвигать сигнал на величину .

Поэтому выражение (2.129) можно обобщить следующим образом:

(2.129)

Это равносильно утверждению, что является четной функцией .

На рис. 2.38, а показан сигнал в виде пачки из четырех одинаковых импульсов, сдвинутых один относительно другого на время а на рис. 2.38, б — соответствующая этому сигналу корреляционная функция. Вблизи значений , равных эта функция имеет такой же вид, как и для одиночного импульса (см. рис. 2.36, г). Максимальное значение корреляционной функции (при равно учетверенной энергии одного импульса.

Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, определение корреляционной функции с помощью выражений (2.129) или (2.129) неприемлемо. В этом случае исходят из следующего определения:

(2.131)

При таком определении корреляционная функция приобретает размерность мощности, причем равна средней мощности периодического сигнала. Ввиду периодичности сигнала усреднение произведения или по бесконечно большому отрезку Т должно совпадать с усреднением по периоду . Поэтому выражение (2.131) можно заменить выражением

Входящие в это выражение интегралы суть не что иное, как корреляционная функция сигнала на интервале Обозначая ее через , приходим к соотношению

Очевидно также, что периодическому сигналу соответствует и периодическая корреляционная функция . Период функции совпадает с периодом исходного сигнала .

Рис. 2.38. Пачка из четырех прямоугольных импульсов и корреляционная функция

Например, для простейшего (гармонического) колебания корреляционная функция

При есть средняя мощность гармонического колебания с амплитудой Важно отметить, что корреляционная функция не зависит от начальной фазы колебания .

На рис. 2.39, б изображена корреляционная функция сигнала, представляющего собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рис. 2.39, а). Каждый из импульсов функции совпадает по форме с корреляционной функцией одиночного импульса из периодической последовательности . Однако в данном случае максимальные ординаты равны не энергии (как на рис. 2.38), а средней мощности сигнала , т. е. величине

Для оценки степени связи между двумя различными сигналами используется взаимная корреляционная функция, определяемая общим выражением

(2.133)

Для вещественных функций

(2.134)

Рассмотренная выше корреляционная функция является частным случаем функции , когда

Построение взаимной корреляционной функции для двух сигналов приведено на рис. 2.40. Исходное положение сигнала показано на рис. 2.40, а. При сдвиге сигнала влево рис. 2.40, б) корреляционная функция сначала возрастает, затем убывает до нуля при . При сдвиге вправо () корреляционная функция сразу убывает.

В результате получается асимметричная относительно оси ординат функция (рис. 2.40, в).

Очевидно, что значение не изменится, если вместо упреждения сигнала дать задержку сигналу Поэтому выражение (2.134) можно обобщить следующим образом:

(2.135)

Рис. 2.39. Периодическая последовательность импульсов (а) и ее корреляционная функция (б)

Рис. 2.40. Построение взаимной корреляционной функции: а) исходное положение сигналов; б) сдвиг сигнала на ; в) взаимная корреляционная функция

Соответственно

(2.135)

Следует, однако, различать выражения (2.129) и (2.135). В отличие от взаимная корреляционная функция не обязательно является четной относительно . Кроме того, взаимная корреляционная функция не обязательно достигает максимума при . Оба эти свойства функции иллюстрируются рис. 2.40.