7.4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть задан стационарный эргодический случайный процесс со спектром и корреляционной функцией ; требуется найти аналогичные характеристики для производной . Не останавливаясь здесь на рассмотрении всех условий дифференцируемости случайной функции, ограничимся основным требованием: энергетический спектр при должен убывать быстрее, чем , так что

Это условие выполняется для большинства практических задач, так как спектр формируется физической цепью, передаточная функция которой при убывает быстрее, чем (а квадрат модуля уменьшается быстрее, чем ), Условию (7.27) не отвечает белый шум с бесконечно широким спектром, однако обычно рассматривается шум с ограниченным спектром.

Считая условие (7.27) выполненным, рассмотрим прохождение случайного сигнала через идеальную дфференцирующую цепь, передаточная функция которой [см. (6.17)].

Применяя выражения (7.2), (7.3), можем написать

Дисперсия процесса на выходе устройства

Рассмотрим следующий пример. Пусть спектр процесса на входе дифференцирующего устройства равномерен в полосе частот —

Корреляционная функция подобного процесса [см. (4.41)]

а дисперсия

Нормированная корреляционная функция

После дифференцирования получаем и

Домножив числитель и знаменатель на и учитывая, что

приводим предыдущее выражение к виду

где

При получается неопределенность вида .

Применив правило Лопиталя, получим . Тогда

Сопоставляя (7.33) с выражением (4.83), в котором следует заменить на , а на , приходим к окончательному результату

В § 7.6 будет показано, что выражение (7.33) справедливо для производной любого стационарного случайного процесса (при ).

Графики функций , а также функций изображены на рис. 7.8, а и б; параметр . Из рисунка видно, что дифференцирование приводит к ослаблению нижних частот исходного процесса. Относительное возрастание высших частот приводит к более четко выраженной осцилляции корреляционной функции (см. рис. 7.8, б).

Рассмотрим теперь прохождение того же случайного сигнала через реальное дифференцирующее устройство в виде -цепи (см. рис. 6.7). Квадрат передаточной функции дифференцирующей цепи в соответствии с (6.19)

Таким образом, энергетический спектр на выходе цепи

График для представлен на рис, 7.8, а штриховой линией.

Корреляционная функция

Результат вычисления нормированной корреляционной функции представлен на рис. 7.8,б штриховой линией (для ).

Рис. 7.8. Спектры (а) и нормированные корреляционные функции (б) на входе и выходе дифференцирующей цепи: на выходе идеальной цепи; выходе RС-цепи

Можно считать, что при физическая RC-цепь осуществляет дифференцирование рассматриваемого случайного процесса, близкое к точному дифференцированию.