Считая условие (7.27) выполненным, рассмотрим прохождение случайного сигнала
через идеальную дфференцирующую цепь, передаточная функция которой
[см. (6.17)].
Применяя выражения (7.2), (7.3), можем написать

Дисперсия процесса на выходе устройства

Рассмотрим следующий пример. Пусть спектр процесса на входе дифференцирующего устройства равномерен в полосе частот —

Корреляционная функция подобного процесса [см. (4.41)]

а дисперсия

Нормированная корреляционная функция

После дифференцирования получаем
и

Домножив числитель и знаменатель на
и учитывая, что

приводим предыдущее выражение к виду

где 
При
получается неопределенность вида
.
Применив правило Лопиталя, получим
. Тогда

Сопоставляя (7.33) с выражением (4.83), в котором
следует заменить на
, а
на
, приходим к окончательному результату

В § 7.6 будет показано, что выражение (7.33) справедливо для производной любого стационарного случайного процесса (при
).
Графики функций
, а также функций
изображены на рис. 7.8, а и б; параметр
. Из рисунка видно, что дифференцирование приводит к ослаблению нижних частот исходного процесса. Относительное возрастание высших частот приводит к более четко выраженной осцилляции корреляционной функции (см. рис. 7.8, б).
Рассмотрим теперь прохождение того же случайного сигнала через реальное дифференцирующее устройство в виде
-цепи (см. рис. 6.7). Квадрат передаточной функции дифференцирующей цепи в соответствии с (6.19)

Таким образом, энергетический спектр на выходе цепи

График
для
представлен на рис, 7.8, а штриховой линией.
Корреляционная функция

Результат вычисления нормированной корреляционной функции
представлен на рис. 7.8,б штриховой линией (для
).

Рис. 7.8. Спектры (а) и нормированные корреляционные функции (б) на входе и выходе дифференцирующей цепи:
на выходе идеальной цепи;
выходе RС-цепи
Можно считать, что при
физическая RC-цепь осуществляет дифференцирование рассматриваемого случайного процесса, близкое к точному дифференцированию.