4.3. СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) функций времени, необходимо иметь в виду, что функциям, имеющим различную форму, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности, введенной в § 2.6 или 2.1, по всем функциям приводит к нулевому спектру процесса (при ) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях.

Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной функции, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте . Размерность функции , являющейся отношением мощности к полосе астот, есть

Спектральную плотность случайного процесса можно найти, если известен механизм образования случайного процесса. Применительно к шумам, связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта задача будет рассмотрена в § 7.3. Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего характера.

Выделив из ансамбля какую-либо реализацию и ограничив ее длительность конечным интервалом Т, можно применить к ней обычное преобразование Фурье и найти спектральную плотность (со). Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью формулы (2.66):

Разделив эту энергию на получим среднюю мощность k-й реализации на отрезке Т

При увеличении Т энергия возрастает, однако отношение стремится к некоторому пределу. Совершив предельный переход получим

где

представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматриваемой реализации.

В общем случае величина должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что найденная усреднением по одной реализации функция характеризует весь процесс в целом.

Опуская индекс k, получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса

где

Если рассматривается случайный процесс с ненулевым средним значением то спектральную плотность следует представить в форме

где — сплошная часть спектра, соответствующая флуктуационной составляющей х, а - дельта-функция.

При интегрировании по первое слагаемое в правой части дает т. е. мощность постоянной составляющей, а второе — мощность флуктуационной составляющей, т. е. дисперсию

Для процесса с нулевым средним

Из определения спектральной плотности (4.33) очевидно, что является четной и неотрицательной функцией .